关于耦合交通流Aw-Rascle模型Riemann问题

王文雷,潘丽君

(南京航空航天大学理学院,江苏 南京 210016)

2000年,RASCLE和AW提出了二阶交通流模型[1]:

(1)

其中:ρ≥0代表车流密度,即表示单位长度有多少辆车辆;v≥0代表地点行车速度,即某个特定车辆的速度[2-5];标量η>0是微观中对应车辆的加速与减速的加权[6];变量w代表优先速度;压强项p(ρ)为一个预期因子．这里假设p(ρ)满足:

p(ρ)=ργ,γ>0,

(2)

所以对∀ρ有ρp″(ρ)+2p′(ρ)>0,又由文献[7]可知标量η越小,密度ρ越大,交通事故的发生概率也变大．

现实生活中,司机可能会出现一段时间走神的现象,即大脑突然空白这种短暂的无意识阶段,为了描述这一现象并预测交通事故,2010年HERTY和SCHLEPER提出了下面的耦合Aw-Rascle(AR)交通模型[7]．

x<0:

(3)

x>0:

(4)

耦合条件:

(5)

其中μ<η．将x<0路段记为μ路段,将x>0路段记为η路段,如图1所示.

图1 暂时失去意识驾驶人士的道路网络(μ<η)

耦合交通模型(5) 中的第一个方程表示质量守恒,第二个方程表示动量守恒,第三个方程表示两条路段交汇处的最大车流量,更多细节可以参考文献[1,6,8-9]．针对上面的耦合模型(3)-(5)的黎曼问题,HERTY 和SCHLEPER在文献[7]证明了解的存在性,但是没有给出显式解．此外,在μ→0的条件下,他们证明了带有如下初值

(6)

耦合交通模型(3)-(5)的解的唯一．

本文仍然研究耦合AR交通模型(3)-(5)带有初值(6)的黎曼问题．根据不同的情况,利用特征分析法和相变的相关理论,详细构造出耦合AR模型黎曼问题的显式解,并且在无μ→0的条件下,证明了黎曼解的唯一性．

1 基础知识

系统(1)的特征值为:

λ1=v-ηρp′(ρ)

故系统(1)是严格双曲的,对应的特征向量为:

第1-Riemann不变量w和第2-Riemann不变量z分别为:

w=v+ηp(ρ),z=v.

(9)

为表达方便,需引进一些记号．记

图2 曲线曲线和曲线的数学性质在平面(ρ,ρv)表达

经过简单的计算得到:

需求函数为

d(ρ;(wμ=w-))=

(10)

供给函数为

s(ρ;(wη=w-))=

(11)

此时条件(5)的第三个方程变为

ρμvμ=ρηvη=

min{s(ρ*;{wη=w-}),d(ρ-;{wμ=w-})}[7],

耦合条件(5)可以改写为

(12)

2 Riemann问题的显式解及其唯一性

本节,根据不同情况详细讨论耦合AR交通模型(3)—(6)的 Riemann问题,利用特征分析法和相变的相关理论构造出上述问题的显式解,并讨论解的唯一性．

在(x,t)平面上,由AR交通模型的特征值λ1和λ2,可以先粗略地表示出Riemann问题(3)—(6)解的结构[7],如图3所示．

图3 在(x,t)平面上粗略表示Riemann问题波的形式

在μ-路上左状态u-=(ρ-,v-)先通过负波连接到状态uμ=(ρμ,vμ),再通过耦合条件跳跃到η-路上的状态uη=(ρη,vη),此时状态uη=(ρη,vη)通过正波连接到中间状态u*=(ρ*,v*),最后中间状态u*通过正波连接到右状态u+=(ρ+,v+)．

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

CaseⅠv+

CaseⅠ.1s(ρ*；{wη=w-})

SubcaseⅠ.1.1ρ*v+<ρ-v-.

(18)

图4 在(ρ,ρv)平面和平面(x,t)中表示在跳跃处的黎曼问题解

图5 在(ρ,ρv)平面和平面(x,t)中表示在跳跃处的黎曼问题解

(19)

图6 在(ρ,ρv)平面和平面(x,t)中表示在跳跃处的黎曼问题解

SubcaseⅠ.1.2ρ*v+>ρ-v-

(20)

图7 在(ρ,ρv)平面和平面(x,t)中表示在跳跃处的黎曼问题解

(21)

图8 在(ρ,ρv)平面和平面(x,t)中表示在跳跃处的黎曼问题解

CaseⅠ.2s(ρ*;{wη=w-})>d(ρ-;{wμ=w-}).

SubcaseⅠ.2.1ρ-v-<ρ*v+.

(22)

图9 在(ρ,ρv)平面和平面(x,t)中表示在跳跃处的黎曼问题解(ρ-v-<ρ*v+)

SubcaseⅠ.2.2ρ-v->ρ*v+.

如图10所示,此时该Riemann问题的解结构为

CaseⅡv+>v-+μp(ρ-).

CaseⅡ.1s(ρ*;{wη=w-})

u0=(ρ0,v0)≜(0,v-+μp(ρ-)).

(23)

(24)

此时的Riemann问题的解结构为

(25)

图10 在(ρ,ρv)平面和平面(x,t)表示在跳跃处的黎曼问题解(ρ-v->ρ*v+)

图11 在(ρ,ρv)平面和平面(x,t)中表示在跳跃处的黎曼问题解

图12 在(ρ,ρv)平面和平面(x,t)中表示在跳跃处的黎曼问题解

CaseⅡ.2s(ρ*;{wη=w-})>d(ρ-;{wμ=w-}).

(26)

图13 在(ρ,ρv)平面和平面(x,t)中表示在跳跃处的黎曼问题解

注对于情况Case Ⅱ.2,HERTY和SCHLEPER在文献[7]中证明了μ趋于0时,耦合AR交通模型黎曼解具有唯一性,而本文无需满足该条件．

综上,Riemann问题(3)—(6)的显式解已经完全获得,于是得出如下定理:

定理给定初值(6),如果μ<η,则耦合AR交通模型(3)—(5)的Riemann解存在且唯一．