一题多探 举一反三

文 刘玉兵

教材习题是专家精心编写而成的，我们要创造性地用足、用好教材习题。下面以一道习题来举例说明。

苏科版数学教材八（上）第67页习题2.5第10题：如图1，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点A、C、E在一条直线上。AD与BE相等吗？证明你的结论。

【分析】把AD、BE分别放到两个三角形中，证明三角形全等，再由全等三角形的对应边相等推出AD=BE。证明过程略。

【探索一】如图2，在例题的基础上，设AD与BC交于点F，BE与CD交于点G,AD与BE交于点H，求∠AHB。

【分析】根据三角形外角性质得出 ∠AHB=∠DAC+∠BEC，再由△ACD≌△BCE推出∠DAC=∠EBC，所以∠AHB=∠EBC+∠BEC=∠ACB=60°。

【探索二】△ACF与△BCG全等吗？

【分析】△ACF与△BCG全等。由∠FAC=∠GBC，AC=BC，∠FCG=∠ACB=60°，利用“ASA”证明。证明过程留给同学们自行探索。

【探索三】如图3，连接FG，△FCG是什么特殊的三角形？

【分析】因为△ACF≌△BCG，则CF=CG，又因为∠FCG=60°，根据“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”得出△FCG是等边三角形。

【探索四】请问同学们，探索三中FG与AE平行吗？试着证明一下。

【探索五】在探索一的基础上，如图4，连接CH，试证明CH平分∠AHE。

【分析】要证明CH平分∠AHE，就是要证明∠AHC=∠EHC，那可以利用“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”这条定理，想办法证明点C到∠AHE的两边距离相等。作CM⊥HE于点M，CN⊥AH于点N。

【方法一】∵△ACD≌△BCE，∴△ACD和△BCE的面积相等，∴AD·CN=BE·CM，∵AD=BE，∴CM=CN，∴点C在∠AHE的角平线上，∴CH平分∠AHE。

【方法二】∠CMB=∠CNA=90°，

∵△ACD≌△BCE，

∴∠CAD=∠CBE。再利用“AAS”证明△CMB≌△CNA，得到CM=CN，∴点C在∠AHE的角平线上，∴CH平分∠AHE。

如果把例题适当改编一下，又会如何呢？

【探索六】如图5，等腰三角形ABD与等腰三角形BCE，其中AB=BD，CB=EB，∠ABD=∠CBE=α，A、B、C三点在同一条直线上，连接AE、CD。AE与CD是否相等？

【分析】要证明AE与CD相等，只要证明△ABE≌△DBC即可。

【探索七】∠DHA有多少度？试着证明一下。

【探索八】若连接HB，HB平分∠AHC吗？

【分析】仿照探索五的两种方法即可证明。

探索六到探索八的证明过程请同学们试着自行探索。一题多问可以激发我们学习数学的兴趣，打开想象的翅膀，促进我们思维的发展。愿同学们在学习数学的道路上，都能成为一个智慧的“探索者”。