妙用导数法，巧解函数和不等式问题

武文香

【摘要】高中数学中，导数是非常重要的内容，导数法就是对函数进行求导，借助导数的性质找到解题的突破口，尤其是在研究函数与方程和不等式问题中应用最为广泛，同时也是最有效的一种解题技巧。本文主要分析在高考数学中最典型的用导数法解函数和解不等式的技巧，希望能够为广大考生提供一些帮助，提高自身的解题效率和准确率，争取在考试中获得高分。

【关键词】导数法;函数;不等式

从最近几年的高考数学题中我们可以发现，压轴题多数以考查函数导数为主，具有很强的综合性，与此同时也具有灵活的技巧性，分析函数和不等式的特点，构造函数，借助导数的特点找到解题的突破口，但是构造函数是很多学生公认的难点，本文主要结合历年各地高考题来进行辅助说明，如何巧用导数法，解决函数和不等式问题。

一、借助导数法解决函数单调性的问题

在高中数学中，函数一般比较复杂，明确函数在定义域内的单调性往往是解题的第一步，可见函数单调性在解决函数问题上具有很重要的作用，例如判断函数值大小、求极值、求取值范围等都需要用到函数的单调性。

1. 借助函数单调性比较函数值的大小

在高考的数学大题中，函数通常具有抽象性和复杂性，在判断函数值的大小的时候，我们通常首先要考虑的就是函数的单调性，在研究不等式的时候也要借助函数的单调性进行判断。而判断函数单调性最直接、最有效的方式就是用导数法，通过对函数进行求导，研究定义域内导数值的正负情况，就能够确定函数在定义域的不同区间内的单调性。 导数值大于零，函数在区间内为单调递增函数，导数值小于零，函数在区间内为单调递减函数，进而就能快速的比较两个函数值的大小关系。

2. 借助函数单调性求极值、最值或取值范围

在一个函数中，通常会给出函数的定义域，要求求出函数在定义域内的最值或值域等，學生习惯性会将定义域两端的函数值直接代入到原函数中，将计算得出的结果作为最终答案，但是实际上并非一定如此，只有函数在定义域内为单调函数时，定义域两端才是最值点。但是高考题通常会给学生设置一些陷阱，函数在定义域上并非是单调函数，会出现拐点，如果是二次函数，我们能够很快的找到拐点的位置，但是对于一些复杂函数，用常规的思维就很难找到拐点的位置，此时我们借助导数法求出拐点。即：函数导数为零的点会出现拐点，拐点处有可能就是函数的极值点，我们可以借助导数值的正负大致画出原函数的变化趋势，借助图像更直观的观察出函数的极值点或最值点，进而求出极值或最值。因此，我们在解决和函数的极值、最值或值域有关的题目时，不仅要计算定义域两端的函数值，同时还要求出拐点的函数值，综合考虑才能够得到正确的答案。

二、构造函数，借助导数解决函数和不等式问题

在解高考函数和不等式问题的时候，有时候题目给的函数并不是直接利用导数就能够解决问题，需要我们先自己构造函数，然后再借助导数解决问题。常用的函数构造法有以下几种。

1. 作差法

通常已知两个函数f（x）和g（x），比较两个函数的大小，此时需要构造出一个新的函数F（x）= f（x）- g（x），进而就将题目转化成求函数的F（x）min≥0或者是F（x）max≤0，解决和函数最值有关的问题。

2. 分离参数法

分离参数是指对已知恒成立的不等式在能够判断出参数系数正负的情况下，根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量的不等式，先求出含有变量的式子的最值，进而求出参数的取值范围。

3. 局部构造

综上，在高考数学解函数和解不等式中通常会以大题的形式进行考查，难度比较大，考查学生解题的灵活性和技巧性，然而导数就是解题的桥梁，将抽象、复杂的函数和不等式转换成函数导数问题，将复杂问题简单化。其实函数和不等式问题归结起来涉及单调性、极值、最值、零点等问题，其中单调性是核心。

参考文献：

[1]潘敬贞， 韩景岗， 唐明超. 巧构函数妙解抽象函数导数与不等式问题[J]. 中学数学研究（华南师范大学版）， 2019（21）.

[2]马芹艳. 构造可导函数在解不等式中的巧妙应用[J]. 中学生数理化（学习研究）， 2018（9）.