运用基本图形巧证三角形相似

张小艳

有关相似三角形的问题较复杂，图形变化多样，但是复杂图形都是由基本图形组合而成的，掌握一些基本圖形的构成形式及性质，能准确、快速地解决问题.下面我们一起来认识一下相似三角形的基本图形的几种类型.

基本图形一：A型图

如图1，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点.DE //BC.结合三角形的判定定理“两组角对应相等的两三角形相似”，可得△ABC，△ADE.这种基本图形很像英文字母A，因此我们将它称为“A型图”.

变形1：如图2，DE与BC不平行，∠AED=∠B，结合∠A=∠A，由相似i角形的判定定理可得△ABC∽△AED.

变形2：如图3.DE与BC不平行，点E与点C重合，∠AED=∠B，结合∠A =∠A，可得△ABC∽△AED，即△ABC∽△ACD.

“A型图”的特点：两个相似三角形有公共角，并且有两边在同一条直线上.

例1 如图4.在锐角△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上.AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F.∠EAF=∠ GAC.

（1）求证：△ADE∽△ABC.

（2）若AD=3 ，AB=5，求AF/AG的值.

分析：（1）根据求证的结论可以看出，△ADE和△ABC的位置关系是基本图形中“A型图”的图2形式，寻找相似的条件即可证得结论.由于AG⊥BC.AF⊥DE，所以∠AFE=∠AGC=90°.又因为∠EAF=∠GAC，所以可得∠AED=∠A CB，结合公共角可证得△ADE∽△ABC.

（2）由相似三角形的性质可求比值，

解：（1）∵AG⊥BC，AF⊥DE，

∴∠AFE= ∠AGC=90°.

点评：对于符合“A型图”特征的两个三角形，常常要添加平行于三角形一边的平行线，有时还要借助公共角来证明它们相似.

基本图形二：X型图

如图5，D、E分别是△ABC的边BA、CA的延长线上的点，DE //BC，因此可得△ABC∽△ADE，这种基本图形被形象地称为“X型图”.

变形：如图6，DE与BC不平行.当∠B=∠E时，结合∠BAC=∠EAD，可证得△ABC∽△AED.当AE：AB=AD：AC时，结合∠BAC=∠EAD.可得△ABC∽△AED.

“X型图”的特点：两个相似三角形有对顶角，并且有两边在同一条直线上.

例2如图7，正方形ABCD的顶点A在等腰直角△DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G.连接CF

（1）求证：△DAE≌△DCF.

（2）求证：△ABG'一△CFG.

分析 （1）由正方形ABCD和等腰直角三角形DEF，可以得到AD=DC，DE=DF.再找它们的夹角，利用“SAS”即可证得△DA E：△DCF.

（2）△ABG和△CFG的位置关系符合“X型图”的特征，有一组对顶角，再找另一组相等的角即可，延长BA交ED于点M.由全等三角形的性质可知∠EAD=∠FCD，通过等量代换得到∠GAB=∠GCF，利用两组角分别相等的两个三角形相似即可证得结论.

点评：对于符合“X型图”特征的两个三角形，经常作平行线找相等的两角，或者通过证明两边对应成比例及夹角相等来判定它们相似.

基本图形三：K型图

如图9，若点C、A、D在同一条直线上，当∠C= ∠D= ∠BAE=90°时，利用互余的两角关系可得∠B=∠EAD.所以得到△ABC∽EAD.这种基本图形很像英文字母K，因此我们将它称为“K型图”.

变形：如图10，若点C、A、D在同一条直线上，当/C=∠BAE=∠D时.由∠B+∠C=∠BAE+ ∠EAD得∠B= ∠EAD.所以得到△ABC∽△EAD.

“K型图”的特点：两个三角形各有一条边在同一条直线上，并且只有一个公共点.

例3如图11.在△ABC中，AB=AC.点E在边BC上移动（点E不与点B、C重合），满足∠DEF=∠B，且点D、F分别在边AB、AC上.

（1）求证：△BDE∽△CEF

（2）当点E移动到BC的中点位置时，求证：FE平分∠DFC.

分析：（1）从△BDE和△CEF的位置关系上看符合图10的“K型图”的特征，思路是利用两组角分别相等证明两三角形相似.

根据等腰三角形的性质可得∠ B=∠C.

易知∠B+ ∠BDE= ∠DEF+∠FEC，可得∠BDE=∠FEC.

结合以上结论可证得△BDE∽△CEF.

点评：有关“K型图”的问题通常用“两组角分别相等的两三角形相似”的判定方法来解决.只有挖掘角与角之间的关系才能找到两组分别相等的角。