货机主货舱多约束条件下集装器装载优化

史永胜， 王 策

(中国民航大学航空工程学院， 天津 300300)

随着中外物联网产业的蓬勃发展，航空货物运输量不断上涨。民航局发布的《2018年民航业发展统计公报》显示，2018年民航业运输总周转量达到1206.53亿t/km，相比上年增加11.4%；完成货邮运输量738.5万t，相比上年增加4.6%[1]。航空货运逐渐成为运输行业中的主流选择。

载重平衡是货机装载作业中非常重要的环节,对于货机的飞行安全有直接影响。有研究指出货机发生载重平衡问题的风险是客机的8.5倍[2]。货机大都使用强度大,且相当一部分货机是由旧客机改装而来的。由此可见，货机的载重平衡是货机装载过程中要考虑的重要一点。

国外有学者在相关方面进行了研究。Ramos等[3]针对货运车辆的具体特性，使用遗传算法进行配载，在不影响集装箱容积利用率的情况下得到稳定且负载均衡的解决方案。Verstichel等[4]及Vancroonenburg等[5]追求实现航空货运利润的最大化，并力求重心偏离量最小，建立了混合整数规划模型，并验证了模型的有效性和高效性。

中国相关研究更多针对于公路和船舶等的运输。孙军艳等[6]研究整车物流中乘用车的装载问题，以尽量减少轿运车使用数量为目标建立轿运车混合装载的数学模型,通过遗传算法求得最优解。杨广全等[7]建立了针对集装箱货车配载模型的启发式遗传算法，方便对货车集装箱配载进行求解。魏大帅等[8]建立车辆战术储备器材包装单元装载模型，并通过启发式算法对求解流程进行合理设计。李佳等[9]将目标函数设为航线运营利润最大，配合了改进的遗传算法，通过整数编码求得满意解。桂云苗等[10]为实现航空货运利润的最大化，对装箱模型进行优化并且择优选择待装货物从而求解。张丽霞[11]将目标函数设置为货机载重量最大容积利用率最高，并利用混合遗传算法求解。左先亮等[12]提出了改进的分布估计算法, 能够对具有一定约束的集装箱装载问题进行求解。谷润平等[13]以最小重心偏移量为目标进行建模，应用混合遗传算法进行求解，但对货舱装载位的约束条件较为单一,没有考虑主货舱左右非对称限重以及货机弯矩的影响。张洪[14]对算法进行进一步的改进，针对C919建立基于蚁群算法的配载优化模型。

因货机主货舱内不同位置的货舱高度不同，主货舱中A、P、R装载区域对于集装器的高度限制不同于B-M装载区域。并且为了尽量减少货机的弯矩，应将重量较大的集装器配载在货机的升力点附近，重量较轻的集装器配载在货舱的两端。因此将货机主货舱分为两部分进行讨论，相比于以往的装载优化模型，还考虑到货机主货舱左右非对称装载限重，使货机货物装载模型更加合理。

1 民航货机装载模型构建

1.1 A、P、R区域装载模型

货机的装载空间包括主货舱以及前后下货舱。集装器主要装载在货机的主货舱中，下货舱多用于装载散货且货物相对固定，此装载模型不考虑下货舱货物的变化，只对货机主货舱的装载优化进行考虑。货机主货舱如图1所示。

图1 货机主货舱平面图Fig.1 The plane graph of main-hold in air freighter

货舱中共可放置27个集装器，且不同装载位对集装器的大小以及高度有不同的要求[15]，其中由于受到货机主货舱结构的限制，放置在AR、AL、PR、PL、R这5个装载区上集装器允许的高度与其他22个装载区不同。

在满足货舱内部空间及载重的约束条件下，还要保持飞机重心的平衡，使飞机的整体重心在重心前后限之间。并将重量较大的集装器配载在货机的升力点附近，重量较轻的集装器配载在货舱的两端。

在货机主货舱满载的情况下，集装器堆码的货物满足货舱内部空间约束条件，则至少一个集装器高度小于244 cm以满足R区装载要求，在高度小于244 cm的集装器中选择重量最轻的一个，将此集装器装载到R区。

货舱中A、P装载区的高度限制为295 cm，在高度小于295 cm的集装器中选择出重量最轻的4个，将此4个集装器装载在A、P装载区。

当主货舱不满载时，即所需装入的集装器少于27个，则先假设缺少的集装器为重量高度都为0的虚拟集装器以补齐27个装载位，再按照上述配载方法进行配载计算即可得出最优解。虚拟集装器分配到的配载区域在实际装载作业时不需要装载集装器。

1.2 B-M区域装载模型

B-M装载区共可装载22个集装器，各集装器在主货舱中的约束条件一致，采用遗传算法对此区域集装器进行配载计算，依据航空公司飞机配载的现实约束，以重心位置限制、货舱内部结构限制、货舱载重限制、货舱左右非对称装载限重为约束条件，以飞机起飞重心最优为目标建立混合整数规划模型。货机装载模型中的相关公式所用符号如表1所示。

在实际的货机装载作业中，对应于不同的航班情况，货机有其最适合的重心位置。将重心偏离量最小作为装载模型的目标函数：

(1)

式(1)中：LMAC为机翼平均空气动力弦的弦长。

装载模型有多个约束条件，包括：每个装载位只对应一个集装器；货机重心范围约束；货舱内部结构约束；货舱左右非对称装载限重。

(1)载位与集装器对应约束，设置变量xij为

∀i=1,2,…,NULD；∀j=1,2,…,NULD

(2)

每个装载位最多只能装载一个集装器：

(3)

表1 装载模型相关符号及含义Table 1 The related symbols and meanings of the loading model

(2)货机重心范围约束：飞机的重心要始终保持在安全范围内，在重心包线图中，重心坐标始终在重心包线内。装载模型的重心前后限主要包括：飞机无油重心前后限，飞机起飞重心前后限，飞机着陆重心前后限，对应公式分别为

(4)

CGTOW=

(5)

CGLW=

(6)

minCGZFW≤CGZFW≤maxCGZFW

(7)

minCGTOW≤CGTOW≤maxCGTOW

(8)

minCGLW≤CGLW≤maxCGLW

(9)

(3)货舱内部结构约束即货舱对于集装器的重量与高度约束：货机货舱中不同的装载区对于此区域的载荷限制不同，B-M装载区对于集装器高度有统一的限制。

wixij≤maxWj, ∀i=1,2,…,NULD；∀j=1,2,3,…,NPOS

(10)

(11)

hjxij≤maxHj， ∀i=1,2,…,NULD；

∀j=1,2,…,NPOS

(12)

(4)主货舱左右非对称装载限重：针对飞机中心线，货舱左右两侧装载的货物重量应该是对称的。但在实际操作中，受所装货物密度不同的影响，无论是哪种类型的集装器均会出现左右不对称的情况，称之为“左右非对称装载”。两侧的重量差异必须严格限制在规定的范围之内，而且差距越小越好，使其控制在飞机结构载荷和平衡允许的范围内，保证航班的飞行安全。

W={LA+[0-LA(LB-LA)/

(LC-LA)]}PL

(13)

2 算法设计

遗传算法在解决寻优问题方面具有优异的表现，遗传算法的确立首先需要进行遗传编码，通过建立通俗易懂的模型将难于解决的问题生动形象的表现出来。本模型使用实数编码，B-M区域集装器的总共有n个，集装器编号设为i=1，2，…，n。每个配载平衡方案在遗传算法中都有一个编码长度为n的个体与之对应，个体中基因的位置即表示在此配载方案中集装器在货舱中的装载位置。

通过适者生存法则，使适应力强的个体能够生存下来。模型的适应度函数为货机的重心偏移量函数，选择算子采用传统的轮盘赌方式，交叉方式为单点交叉。变异方式为逆变异，变异点随机选取，并将变异点之后的基因逆排列。

通过罚函数对过程进行约束，不满足约束条件的染色体适应度变为0，重新生成满足约束条件的染色体，迭代次数达到最大时终止进化。

遗传算法实现过程如下：

(1)确定种群规模，将种群初始化。

(2)对个体的适应度逐个计算，并从低到高排序；择优选择个体进入下一代。

(3)通过交叉、变异产生新一代个体。

(4)返回(2)进行适应性选择操作，直到达到最大迭代次数，终止进化。

算法的流程如图2所示。

图2 遗传算法流程图Fig.2 The flow chart of genetic algorithm

3 算例分析

以波音777货机为例进行验证，波音777货机主货舱的集装器采用纵向两侧装载方式，如图1所示。

波音777货机主货舱共可放置27个集装器，其中AR、AL、PR、PL、R这5个装载区上的集装器由于货机货舱结构限制，允许的高度与其他22个装载区不同。

以下面27个A型集装器为例，对配载计算方法进行说明，如表2所示。

首先对R装载区进行配载，R区对于货物高度的要求最为严格，波音777货机R区的集装器高度不得超过244 cm。选取高度小于244 cm中重量最轻的集装器装载在R区。然后在高度小于295 cm的集装器中选择出重量最轻的四个集装器装载在AR、AL、PR、PL区域。

波音777货机的重心包线图如图3所示，表示出了货机重心的安全范围。重心相对于机翼平均空气动力弦的位置[%MAC]计算方程为

(14)

式(14)中：MAC为机翼的平均空气动力弦的弦长；HMAC基准点到平均气动力弦前缘的距离。

波音777货机空机重量限制由飞机制造商在出厂时给出，AOEW=141 802 kg。波音777货机主货舱分区限重如表3所示。

图3 波音777货机重心包线图Fig.3 Center-of-gravity envelope of Boeing 777 air freighter

表2 集装器货物重量及高度Table 2 Weight and height of unit load devices

表3 波音777货机主货舱最大装载限重Table 3 Maximum load limit in main-hold of Boeing 777 air freighter

根据飞机的起飞重量，两侧的重量差异必须严格限制在规定的范围之内，而且差距越小越好，否则，将会造成飞机横向平衡出现问题。可以根据波音777货机主货舱左右非对称装载限重图对不同装载区域左右集装器的非对称装载限重进行计算。主货舱左右非对称装载限重图如图4所示。

图4 波音777货机主货舱左右非对称装载限重图Fig.4 Asymmetrical loading limit diagram of Boeing 777 air freighter main-hold

采用某次中国货运航班的数据进行验证，货机的起飞油量为380 00 kg，航程油量为150 00 kg，最优重心位置为20.78%MAC。利用C#语言进行编程，经过测试，将遗传算法的种群规模设定为30，进化代数为150，交叉概率设置为0.7，变异率为0.01，得到算法的收敛情况如图5所示。

图5 配载方法收敛图Fig.5 The convergence diagram of the stowage method

可以看出，采用本文的配载方法可以较快收敛到最优解。配载方案的重心偏移量为0.019 34，接近最优重心。货机货物装载相关部门可以依据此配载方法，快速便捷的得到货机主货舱多约束条件下的最优装载方案。

4 结论

多约束条件下的航空货运装载问题是一个综合性研究课题。根据实际装载过程中的约束条件建立装载模型，对主货舱进行分区讨论。在充分考虑了货机的俯仰平衡以及滚转平衡的条件下，以重心偏移量最小为目标使用遗传算法得到主货舱配载方案，该配载方法对航空货运装载问题的研究有着重要的理论价值和现实意义。在实际的货机装载工作中，还有其他现实因素约束着货舱的装载，在未来可以根据个体的客观情况进一步优化装载方案。