主理想环上矩阵方程AX=B的对称解

张四保， 邓 勇

(喀什大学数学与统计学院， 喀什 844008)

矩阵方程:

AX=B

(1)

文献[10-12]指出，当且仅当式(1)有解且ABT=BAT时，式(1)在实数域与复数域上有对称解。现讨论式(1)在主理想环R上有对称解的可解性问题，给出其有对称解的充分必要条件，并得到文献[13]中的定理1是本文结论的一个推论。

为方便，Rm×n表示R上所有m×n矩阵的集合，0m,k表示m×k零矩阵，AT表示矩阵A的转置矩阵，GL(m,R)表示R上的m×m矩阵组成的一般线性群，Ir表示R上r阶单位矩阵。

1 预备知识

矩阵A∈Rm×n称为可对角化，如果存在矩阵U∈GL(m,R)和V∈GL(n,R)，使得

UAV=diag(a1,a2,…,ar,0,0，…,0)=SA

(2)

为对角矩阵，其中ai≠0(i=1,2,…,r)且aj-1|aj(j=2,3，…,r)，元素a1,a2,…,ar称为A的不变因子，对角矩阵SA称为矩阵A的史密斯标准形式。若用分块矩阵表示，则SA可表为

(3)

式(3)中：S(A)=diag(a1,a2,…,ar)∈Rr×r。

证明(⟹)设X0∈Rn×k是式(1)的一个解，并且A的史密斯标准形为式(3)。由等式AX0=B，可得：

UAVV-1X0=UB

(4)

(5)

的形式。因此，可得B1=S(A)Y1，B2=0m-r,k。必要性证毕。

(6)

显然成立。因此，有

(7)

如果R=F是一个数域，那么由引理1可得以下推论。

引理2设A∈Rm×n，若rank(A)=r

2 主要结论

定理1矩阵方程式(1)在主理想环R上有对称解当且仅当矩阵方程式(1)在R上可解且ABT=BAT。

证明不失一般性，设A,B∈Rm×n。

(8)

(9)

设G和B1的分块形式分别为

(10)

式(10)中：G11∈Rr×r，G12∈Rr×(n-r)，G21∈R(n-r)×r，B11∈Rr×r，B12∈Rr×(m-r)，B21∈R(m-r)×r。由式(9)可得：

(11)

(12)

利用引理1，由式(11)得B21=0m-r,r，B22=0m-r,n-r；由式(12)得BT21=0r,m-r，BT22=0n-r,m-r。于是，有

(13)

由ABT=BAT，可得UABTUT=UBATUT。于是，又有

(14)

AXp=A(X0+Xs)=AX0+AXs=B

(15)

3 通解表示

先给出矩阵方程[式(1)]存在对称解的另一个充要条件，然后再推导其通解的构造方法。

定理2设A,B∈Rm×n，rank(A)=r，A的史密斯标准形如式(3)所示。于是，式(1)在R上有对称解当且仅当

(16)

式(16)中：D11∈Rr×r是对称矩阵，D12∈Rr×(n-r)。

证明(⟹)设X0∈Rn×n是式(1)的一个对称解。由引理1和AX0=B，可得：

(17)

式(17)中：B1∈Rr×n。用V-T右乘式(17)两边，有

(18)

(19)

(20)

(21)

均成立。必要性得证。

(⟸)设矩阵A的史密斯标准形为式(3)。令

(22)

(23)

(24)

由式(23)可得：

(25)

因Y0对称，故X0=VY0VT也对称。同理，由式(24)可得X0AT=BT。因此，矩阵方程AX=B和XA=B在R上有公共的对称解X0。

特别地，当R=F是一个数域时，由定理2可得如下推论。

4 应用举例

例1设

求AX=B在整数环上的对称解。

解取可逆矩阵：

于是有

因此，AX=B可解。此外，

例2设

求AX=B在有理数域上的对称解。

解取可逆矩阵：

于是，有

因此，AX=B可解。容易验证：

P是有理数域上的任意对称矩阵。