基于问题链的《椭圆简单几何性质》教学设计

史琼怡

[教学内容解析]

圆锥曲线是高中数学平面解析几何中的核心内容，椭圆的几何性质是在学生学习了椭圆的定义和标准方程之后，第一次真正意义上感受解析几何的基本思想——从方程出发研究椭圆的几何性质，是后续学习双曲线、抛物线的知识铺垫、能力基础和方法指导，是数形结合的数学思想方法的典范，也是进一步完善学生的知识结构、深化数学思想方法、提升多种数学素养的重要载体。在本章中起着承上启下、完善建构、形成范例的作用。

[教学目标设置]

1.初步理解椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等简单几何性质;解释椭圆标准方程中a，b，c的几何意义;

2.在探究椭圆性质的活动中，经历从图形直观抽象几何性质的过程，提取出利用代数方法研究几何性质的一般方法，建立离心率模型。

[学生学情分析]

本节课的授课对象是高二学生，已经知道直线和圆的相关知识、椭圆的定义和标准方程;理解数形结合思想、数形转化方法的重要作用，初步感知了解析几何的基本任务，具有一定的图形分析和代数推理能力。同时在函数和不等式的学习过程中已经积累了利用等量关系寻找不等关系、图像的对称性等研究函数性质的基本经验。这些都为本节课提供了充分的基础知识和思想方法准备。

[教学过程分析]

引言：美国数学教育家克莱茵说：解析几何彻底改变了数学的研究方法，即通过坐标系，把几何问题代数化。而建立曲线方程，便是代数化的手段之一。前面两节课，利用椭圆的定义（是什么？），我们画出了椭圆的形状，推导出了椭圆的标准方程（是什么？）。

[设计意图]通过复习回顾，激活作为本节课逻辑起点的基础知识;通过对解析几何本质的揭示，初步明确本节课的研究内容。

一、情境引入，明确方向

问题1  除了利用定义，你能根据椭圆方程画出它的简图吗？

[设计意图]中学数学教育的首要任务是培养数学直观。通过画图辨图，与学生已有的椭圆印象对比，让学生发现问题，进而关注椭圆的一些重要特性，从而明确研究椭圆几何性质的主要内容;通过“为什么”的追问，自然引导学生从方程本身的角度去考虑，从而明确研究的主要方法。

二、问题驱动  合作探究

问题2 一般地，以椭圆为例，你准备研究它的哪些性质？如何研究？

[学生活动]学生自主探究，感知“几何性质”研究的方向和方法，得出结论，说明理由。

探究1：我们能否从椭圆方程本身来探讨椭圆的范围呢？

方法提炼：通过观察方程形式特点，由方程构造不等式，体现了研究几何问题的“代数”方法，其实质是：已知，求x， y的取值范围。

探究2：椭圆具有怎样的对称性？能否用代数法说明？

探究3：研究曲线上的某些关键点，可以确定曲线的位置和变化趋势。你觉得该椭圆上会有哪些关键点？

方法提炼：分析四点的特性，形成顶点的概念.顶点是曲線与对称轴的交点，而不是曲线与坐标轴的交点。类比迁移二次函数图像的顶点。

[设计意图]根据上一环节的讨论，学生自己列出探究的问题（内容）目录，然后自主思考，相互交流，探究结论.教师适当点拨引导，深化认识。范围和对称性的探究，经历了由直观（图形）、推理（数量）、抽象（性质）的思维过程;顶点概念的建立，则是先直观、后类比、再建模，体现了研究问题的方法论思想。

例1：椭圆的长轴长为_____，短轴长为______，顶点坐标是__________，

[设计意图]由方程得性质，体现了本节课重要知识点和研究方法的基本应用，以及练习的反馈和诊断功能。

探究4 请在刚才的坐标纸上较精确地画出第二个椭圆

。

[设计意图]再画椭圆，让学生体验利用性质画图的必要性和有效性，另一方面也是离心率概念形成的自然过渡。

问题3 观察所画椭圆和，它们在形状上有什么显著不同？

问题3.1  再尝试画椭圆，分析椭圆的圆扁不同是由方程中的哪个量的变化引起的？

问题3.2  是不是方程中的a，b都改变，椭圆的圆扁程度一定发生变化？

问题3.3  你认为可以用怎样的一个关系式来定量刻画椭圆的“圆”和“扁”？

问题3.4  利用基本量a，b，c之间的关系，还有其他类似的关系式来刻画吗？

借助几何画板演示一系列动态变化的椭圆，提供直观支持。

[学生活动]直观观察，小组讨论，合作交流，形成结论：离心率的定义、范围、大小对圆扁程度的影响.经历了形状变化（观察）、原因剖析（推理）、数学刻画（对应）、建立模型（抽象）的思维活动过程。

[设计意图]明确开放的问题，使学生体会到引入离心率的目的;由到符合学生的认知特点;教师利用几何画板动态演示，使学生对离心率刻画椭圆的圆扁程度的理解更为形象直观.整个探究过程体现了实物直观、数学抽象、建立模型、形成概念的核心素养。

问题3.5  你能运用三角函数的知识解释，为什么利用越大，椭圆越扁？

[设计意图]在长轴不变的情况下，通过“焦点离开中心的程度”直观感知离心率的大小与椭圆扁平程度的关系，再从三角函数入手，定量研究证明。从具体到抽象再到证明，体现了数学的严谨性。

三、引导建构  完善认知

问题4 请你写出焦点在y轴上的椭圆的几何性质。

[设计意图]通过填表，一方面让学生有条理地梳理、巩固刚学过得椭圆的几何性质，将离散的知识系统化，便于对比理解;另一方面，通过类比已有知识和方法，归纳得出焦点在y轴上的椭圆的几何性质，发展了学生的思维能力。

四、总结提升  形成体系

结合所学知识和知识的探究过程谈谈本节课你有什么收获？

（1）知识：椭圆的简单几何性质：范围、对称性、顶点、离心率。

（2）方法：代数方法解决几何问题;曲线方程研究曲线性质。

（3）思想：数形结合，方程思想，特殊到一般、类比等。

（4）经验：研究圆锥曲线性质的一般方法经验。

（5）素养：数学运算、直观想象、数学抽象、逻辑推理。