折纸视角下的椭圆概念——“椭圆及其标准方程”教学设计优化

史琼怡

(浙江省宁波市五乡中学 浙江宁波 315000)

教学内容解析：

本节课是人教A版《数学》（选修2-1）第2章“圆锥曲线与方程”第2节“椭圆”的第一课时内容，主要学习椭圆的定义和标准方程。学生在必修2已初步掌握了解析几何问题的主要方法，并在平面直角坐标系中研究了直线和圆这两个基本的几何图形。本节课是在学习圆及其标准方程的基础上，将研究曲线的方法拓展到椭圆，是继续学习椭圆的几何性质的基础；同时，本节课是圆锥曲线的起始课，渗透了数学两大体系——几何与代数间的互相转化，几何问题代数化的数学思想，可为后续研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础。因此，本节课具有承前启后的作用，是本章的重点内容。

另外，本节内容蕴含了许多重要的数学思想方法，如数形结合思想、类比思想、化归思想等，旨在培养学生数学抽象、数学运算、逻辑推理等核心素养。因此，教师在教学时应重视体现数学的思想方法及价值。

学生学情分析：

通过对人教A版《数学2》（必修）第三章、第四章的学习，学生初步掌握了解析几何研究问题的主要方法——坐标法，并在平面直角坐标系中研究了直线和圆这两个基本的几何图形，基本实现了数与形、代数与几何之间的联系。但如何将几何问题代数化仍然是多数学生理解的难点。

本节课授课班级是笔者所在学校的普通班，数学基础水平总体较弱，且学生普遍对数学有一定的畏难情绪，对于较复杂的计算问题，往往不知如何入手，计算能力较弱。

教学目标设置：

根据本节课的内容特点及学生的认知水平，确定本节课的教学目标：1.归纳并理解椭圆的定义；巩固用坐标法求动点的轨迹方程，体会含有两个根式的化简思路。2.通过归纳椭圆概念，化简椭圆方程，培养数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养；学习掌握概念教学中类比、化归等数学思想方法；3.经历椭圆标准方程的推导，增强学生战胜困难的意志品质，并体会数学的简洁美、对称美。

教学重难点：

教学重点：掌握椭圆定义及标准方程，理解坐标法的基本思想；教学难点：推导椭圆的标准方程。

教学过程分析：

一、动手实验，触发思考

同学们，我们每个人手里都有一张圆形纸片，今天我们用折纸游戏发现椭圆，要求如下：

1.在圆形纸片内取异于圆心F2的定点F1；2.将圆形纸片的边缘向内折叠，使圆形纸片的边缘过定点F1（即纸片边缘上的一点A与定点F1重合）；3.画出折痕（图1）；4.重复上述操作，使折痕足够密集（图2）。

问题1：你有什么发现？

设计意图：学生进行直观感知、思考，激发学生学习兴趣，培养他们发现问题、提出问题、探究问题的能力，为下一步做铺垫。

二、数学抽象，深入研究

问题2：请同学们用数学的眼光重新分析折纸游戏。思考：在折纸的过程中，点与定点和对应的折痕有什么位置关系？

设计意图：折纸游戏引发学生探索的积极性，从折纸情境中抽象出数学原型，找到形成椭圆的数学本质，提升学生数学建模、数学抽象等核心素养。但椭圆形成的过程比较抽象，其中隐含的数学问题和数量关系还需要进一步分析，教师通过问题链引导学生发现结论，培养学生分析问题、解决问题的能力。

问题3：如图3，你能否从“点”的运动角度思考椭圆的形成？连接AF2交折痕于点P，你能发现点P和椭圆的位置关系吗？

设计意图：折纸游戏让学生发现AF1的垂直平分线围成了一个椭圆。微观上讲，椭圆可以看作一些点的集合，通过师生活动，引导学生从“点”的视角探究椭圆，揭示数学本质。

问题4：如图4，连接AF1，AF2，AF1的中垂线BC交AF2于点P，当点A运动时，有哪些不变的量？

设计意图：定量关系是学生的思维障碍，从动手操作得到的几何图形中进一步抽象，提炼出数学结论。通过几何画板的动态演示，学生能更直观地感受到图形中存在的定量关系。

三、归纳总结，形成概念

问题5：椭圆的定义是什么？

设计意图：通过引导学生从定点、定长等方面总结归纳出椭圆的定义，同时类比圆的定义，为后续研究双曲线、抛物线做铺垫，同时让学生叙述椭圆的定义，锻炼语言表达能力和数学归纳总结能力。

四、利用定义，推导方程

问题6：回顾圆的方程推导过程，我们如何推导椭圆的方程？如何对这个方程进行化简？

设计意图：1.类比圆的方程建立的过程得到椭圆的方程，让学生充分感受知识之间的联系，体会解析几何的思想方法；2.方程的化简运算是本节课的难点，通过对方程结构的分析，指导学生得到解决带根式方程问题的统一方法，为后续研究双曲线、抛物线的方程做铺垫；3.学生在动笔计算的过程中可以充分体会解析几何的核心思想方法——通过代数方法解决几何问题，培养和锻炼了学生的运算求解能力，体会代数与几何两大体系间的联系和转化。

问题7：如果椭圆的焦点在y轴上，那椭圆的方程又如何？

设计意图：利用类比对称，化归的思想让学生体会问题的本质，只是位置不同，图形是一致的，得出焦点在轴上的椭圆的标准方程，避免繁杂计算。

问题8：椭圆的标准方程中三个参数a，b，c的关系怎样？如何从椭圆的标准方程中判断椭圆焦点的位置？

设计意图：通过归纳总结，让学生对两种方程进行对比分析，强化对椭圆方程的理解，有助于教学目标的实现，培养学生的总结归纳能力，而且使学生体会和学习类比的思想方法，为后边双曲线、抛物线及其他知识的学习打下基础。

五、随堂练习，检验新知

例2：一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆x2+y2-6x-91=0内切，则动圆圆心的轨迹是什么？

设计意图：例1可以利用定义，也可以用圆中求参数的方法，通过用待定系数法解决。例2考察用折纸法形成椭圆的数学本质。

本节课的重点是椭圆的定义，难点是化简变形和运算，两道练习题的设置强调了本节课的重点，也为解决几何运算求解问题提供了可参考性的方法。

六、知识小结，升华内涵

思考：1.本节课学习的主要知识是什么？2.求椭圆标准方程常用方法是什么？3.本节课涉及了哪些数学思想方法？