竞争环境下考虑顾客惰性行为的易逝品动态定价

侯福均，翟玉冰，胡玉生

(1.北京理工大学 管理与经济学院,北京 100081; 2.北京信息科技大学 信息管理学院,北京 100192)

0 引言

易逝品的收益管理广泛应用动态定价策略，如航班票价[1]、球赛门票票价[2]、酒店房间价格[3]、时尚品价格[4]、铁路运输票价[5]、生鲜产品的价格[6]、天然气等能源产品的价格[7]等。这些产品特别适合动态定价的原因是，库存不能补充，有效销售期内未售出的产品几乎没有残值。企业以价格的及时调整，来匹配变动的供需关系，以达到期望收益的最大化。匹配供需关系的过程中，需要考虑的因素很多，与本研究最相关的两支，一是来自竞争对手的影响，二是顾客购买行为的有限理性。

竞争环境下动态定价的研究越来越重视对客户行为因素的建模，但大多集中在对顾客策略行为的研究上。Liu等[12]研究了双寡头市场下存在策略消费者的定价问题。该文假设一家公司提供高质量的产品，而另一家公司提供质量较差的产品，得出的结论为：当任何一家公司承诺放弃动态的制定价格时，两公司均会受益。另外，当提供高质量产品的公式承诺静态定价时，对两家公司的利益更大。Shen[13]指出，任何市场中的客户行为都与企业的行为以及其他消费者的相应反应有着错综复杂的关系。完全理性经济人假设常常受到学者们的质疑，事实上，顾客的购买决策并非单纯的受经济因素的影响，顾客自身的有限理性也是影响其购买决策的重要因素[14]。对顾客自身有限理性的考虑，本文的关注点是顾客的惰性行为。顾客惰性(consumer inertia)是指顾客的购买行为有不改变固有趋势的拖延倾向，也就是说，即使从客观角度来看，立即购买是最优决策时，顾客依然可能选择延迟购买[15]。例如，办理健身卡、订购出行机票、订酒店房间等等，除非遇到非常大的折扣，否则总是拖到某个不得不做出决定的时间截点才会购买。诸如此类，惰性行为在日常生活中是非常常见的行为，却往往给人们带来消极的后果。这表明在完美理性和效用最大化的假设下，常规决策模型并未充分体现顾客的行为规律。关于顾客惰性行为的研究多见于经济学[16]、心理学[17]等领域的论文，Su[12]是第一个将顾客惰性引入到动态定价领域中的学者。他指出，在对顾客惰性进行建模时，需要一个额外的效用来触发顾客的购买行为，假设顾客购买所获得的效用为U，不购买(等待)所获得的效用为U0，Γ是触发增量。当且仅当U≥U0+Γ时，顾客才选择立即购买。Su[12]还讨论了顾客惰性与期望理论(prospect theory)[18]、双曲时间偏好(hyperbolic time preference)[19]理论之间的关系。他还为如何影响顾客的惰性水平提供了建议，如提供回购策略、提供策略辅助、提供多样化的付款方式等。Zhao[20]研究了基于顾客惰性的单产品动态定价问题，利用动态规划方法建立了动态定价模型，分析了最优价格的结构。

本文研究了竞争环境下，顾客惰性行为对企业动态定价和收益管理的影响，在讨论了多期博弈各周期纯策略纳什均衡存在性和唯一性的基础上，用数值模拟的方法，给出了顾客惰性参数的变动对两家销售不同质量产品的企业的定价策略和预期收益的影响。本文的研究，在理论上补充了动态定价中关于顾客有限理性行为的研究，在实践上为企业更充分的分析顾客需求，制定更合理的定价策略，以更好的匹配供需关系提供了理论支持。

1 基本模型

1.1 问题描述与假设

假设市场上有n家企业，每家出售1种易逝品，这n种易逝品互相为可替代品。假设产品i由企业i提供，销售期划分成T个时间段，以反向排列的顺序对时间段进行计数，即时期1代表最后一个时期。从时期T到时期1顾客的到达服从伯努利过程，这种假设可以以适当的时间尺度逼近泊松过程，并且常用于收入管理文献中，参见Akçay等[21]。每个时期有一个顾客到达的概率为δ，没有顾客到达的概率为1-δ。此外，假设整个大市场中存在一定比例的惰性顾客。销售期结束后，所有产品的残值均为0，销售期内各产品不允许补货，不考虑顾客退货的情况。各销售企业可以通过Lin等[7]提出的启发式算法估算出其他企业的剩余库存水平。

在每个时期初始时刻，各企业各自设定该阶段产品的价格。考虑顾客的购买决策，假设顾客购买获得收益为U，不进行购买获得收益为U0，对于完全理性的顾客，当且仅当U≥U0时，会选择购买产品。但在考虑顾客惰性的情况下，当且仅当U≥U0+s时，顾客选择购买。其中s≥0为触发增量，称为顾客惰性深度，表示顾客受惰性影响的程度；易知当s=0时，顾客是完全理性的。另外，为了描述顾客的异质性，定义另一个参数：惰性宽度，用来表示顾客具有惰性的概率，记为β。

1.2 离散选择模型

本文采用经典的MNL模型(Multinomial Logit model)描述顾客的选择行为，并在模型中引入顾客惰性参数，以描述顾客惰性倾向对消费者购买决策产生的影响。企业i以价格pi出售产品i，每个客户购买该产品所获得的效用为：

Ui=ai-γpi-s+ηi，i=1,2,…,n

(1)

其中，ai为产品i的质量指标，包括品牌形象、受欢迎程度以及服务质量等。γ表示价格响应系数，γ>0且为常数，γ越大表示顾客对价格的敏感性越高。随机变量ηi,i=1,2,…,n相互独立，且都服从标准Gumbel分布，描述了每个顾客的异质偏好，其分布函数如下：

P(ηi≤η)=e(-eη)，η∈(-∞,+∞)

(2)

注意到MNL模型的适用条件是各选项独立同分布[22]，若该假设对于某些特定的人群不恰当，则有必要采取适当的措施重新对选择行为进行建模。令p=(p1,…,pn)为价格向量，其中pi表示企业i设定的价格，顾客选择一种产品购买或不购买，以效用最大化为购买原则。根据MNL模型，顾客购买产品i的可能性为：

(3)

顾客不购买任何产品的可能性为:

(4)

1.3 多期博弈模型的构建

Mi(p1)=δpi1·qi(pi)，i=1,2,…,n

(5)

接下来构建多期博弈模型。记当前库存向量为x=(x1,…,xn)，表示企业i的剩余库存水平为xi，由Lin和Sibdari的研究[9]知，1,2,…,T-1期均存在纯策略纳什均衡。各期各企业均采用均衡策略，令Ri(pt-1,x,t-1)表示企业i从时期t-1到时期1的总期望收益。边界条件为：对一切i和一切x有Ri(pt-1,x,0)恒成立；且当xi=0，t=1,2,…,T-1时有Ri(pt,x,t)=0。如果t时期期初没有顾客到达，或者到达的顾客没有进行购买，则t-1期期初企业各自继承自身t期的库存；假设t时刻n家企业的价格策略向量为pt=(p1t,…,pnt)，则可以定义企业i(i=1,…,n)从时期t到时期1的支付函数为：

Fi(pt,x,t)=δ[qi(pi)(pit+Ri(pt-1,x-ei,t-1))+

(1-δ)Ri(pt-1,x,t-1)

(6)

其中，ei表示一个第i个元素为1其他元素均为0的n维向量，且e0=(0,0,…,0)为0向量。

2 纯策略纳什均衡唯一性讨论

每家公司在每个销售期开始时，首先根据Lin和Sibdari[9]提出的启发式算法，估算出其他每家公司当下拥有的库存量，然后决策其自身产品价格。因此，此处直接将各企业的实时库存信息作为公共信息处理。每家公司的目标是通过动态设置其产品价格，以便在销售期结束时最大化其预期总收益。Lin和Sibdari的研究[9]已对此类问题多期博弈的纯策略纳什均衡的存在性进行了证明，接下来，本文将对多期博弈纯策略纳什均衡的唯一性进行讨论。

引理1第t期博弈中，参与人i关于其他参与人策略p-it的最优响应函数由下式唯一确定:

将式(3)(4)代入上式，化简得:

接下来，利用朗伯W函数，将第t期企业i的价格策略pit表示为其他企业策略p-it的函数，即将上式右边的pit全部移项至左边。

运用凑配法，将上式化为:

将上式用朗伯W函数表示：

得证。

定理1[22]如果最优响应对应在整个策略空间上是一个压缩映射，则该博弈存在唯一的纯策略纳什均衡。

定理2[22]最优响应对应(函数)的偏导数矩阵记为A：

要确定一个映射为压缩映射，只需确定矩阵A最大行和范数或者最大列和范数小于1。即:

定理3库存充足的情况下，多期博弈中的每一个时期都存在唯一的纯策略纳什均衡。

于是知当库存充足时，最优响应对应在整个策略空间上为压缩映射，即存在唯一的纯策略纳什均衡。

3 数值模拟

为观察惰性参数对竞争企业最优价格以及企业预期收益的影响，本节以两个竞争企业为例，进行数值模拟。假设顾客以δ=0.5的概率到达后，在两企业的产品中进行选择，价格弹性γ=0.5，两产品质量水平分别为a1=6,a2=4,剩余销售时期t=7，两种产品剩余库存水平分别为5和6。

首先，分别讨论最优价格随两个惰性参数——惰性深度和惰性宽度变化的情况。先将惰性深度设定为s=7，惰性宽度β从0.1增加到0.9时，最优价格随惰性宽度的变化如图1所示。然后将惰性宽度设定为β=0.7，惰性深度s从0增加到9时，最优价格随惰性深度的变化如图2所示。

图1 最优价格随惰性宽度的变化

图2 最优价格随惰性深度的变化

图1呈现出，当惰性宽度增加，即市场中有更大比例的惰性顾客时，企业竞争双方的最优价格均呈下降趋势，在市场将要完全被惰性顾客占领时，惰性宽度的变化对企业最优定价策略影响最大。图2呈现出，当惰性深度增加，即顾客惰性的程度增加时，竞争企业的最优价格同样均呈下降趋势，但开始变化显著，而后趋于平缓。

接下来，观察惰性参数的变化对两企业期望收益的影响，如图3所示。可以看出，随着惰性参数的增加，两企业期望收益均呈下降趋势。与对最优定价策略的影响相一致，顾客惰性宽度对企业期望收益的影响的边际效应递增，而顾客惰性深度对企业期望收益的影响的边际效应递减。

图3 最大期望收益随惰性参数的变化

表1 最大期望收益和最优价格随惰性宽度变动的百分比

表2 最大期望收益和最优价格随惰性深度变动的百分比

表1和表2分别给出了最大期望收益和最优价格随惰性宽度和惰性深度变动的百分比。由表1和表2可以看出，1)随着惰性参数的增加，两企业最大期望收益和最优价格均呈现出下降趋势。2)最大期望收益和最优策略随惰性宽度下降的速度越来越快，随惰性宽度下降的速度越来越慢。3)顾客惰性行为的出现与增强对低质量企业的损害更大，低质量企业将面临更大比例的收益损失，并且需要更大幅度的降价来对抗顾客惰性的影响。

综上所述，顾客惰性会对企业最优定价决策产生负面影响，并降低企业的期望收益水平，在存在企业产品质量差异的情况下，对低质量企业的损害更大。所以，当有顾客出现拖延的迹象时，企业最优价格应及时做出相应的调整；竞争企业应提高自身产品质量水平以应对顾客惰性带来的压力。另外，企业也应该采取适当的措施来降低顾客惰性水平，如促销、简化购物流程、管理消费者认知、改善售后服务等。

4 结论与展望

本文研究了顾客购买行为中的非理性拖延现象——顾客惰性行为对多家竞争企业收益管理的影响。构建了多期博弈模型，分析了出售可替代产品的几个企业之间的实时价格竞争问题。得到的主要结论有：

(1)证明了多企业多期博弈在库存充足的情况下，每个销售周期都存在唯一的纯策略纳什均衡。

(2)数值模拟结果表明，顾客惰性行为对竞争各企业的最优价格和最大期望收益都有负面影响。其中，顾客惰性宽度对各企业最优价格和最大期望收益的影响的边际效应递增，而顾客惰性深度对各企业的影响边际效应递减。该趋势与垄断环境下的趋势是相似的。

(3)在竞争产品质量不对称的情况下，销售低质量产品的企业受到顾客惰性行为的影响更大。

在未来的研究中，可以考虑动态的顾客惰性对决策的影响。本文构建的模型中，未考虑惰性参数的动态变化，即多期博弈中的惰性参数是同一组常数，现实中的顾客惰性参数不一定是一成不变的。另外，本文选用MNL模型是基于不相关备选方案的独立性公理，在未来的研究中，如果遇到备选方案不满足独立性的情况，则应选用其他模型来描述顾客的购买行为。