基于初始值和背景值改进的GM(1,1)模型优化与应用

2020-10-23卢捷，李峰

运筹与管理 2020年9期

卢捷，李峰

(江南大学商学院,江苏无锡 214122)

0 引言

灰色预测是灰色系统理论的主要内容之一，GM(1,1)模型作为灰色预测理论的核心和基础[1]，在很多领域都得到了广泛的应用。然而在实际应用中，经典GM(1,1)模型会出现预测精度不稳定、甚至出现偏差的情况[2]。由于经典GM(1,1)模型误差来源主要集中于初始值的选取以及背景值的构造，为此学者们从不同角度对GM(1,1)模型的改进进行了研究，并在初始值、背景值方面取得了一定的成果。

在初始值优化方面，考虑到新信息在建模中应当发挥关键作用，罗佑新[3]直接以x(0)(n)作为灰色模型初始条件，虽然可以在一定程度上减少误差，但缺乏严格的理论依据；党耀国[4]分别以x(1)(n)作为灰色模型初始条件，弥补了以往学者研究的缺陷，但同样没有严格的理论证明；Wang等针对白化方程为非齐次指数函数对模型初始值进行优化，进而构造新的背景值表达式减少模型误差，提高模型预测精度[5]，优化方法适用范围较窄。

在对背景值优化方面，经典模型对于背景值z(1)(k)的构造并没有严格的理论依据，故学者们从不同角度对背景值进行改进，大致可分为从几何意义以及数列特征两个方面进行优化。从积分的几何意义出发，蒋诗泉等[6]利用分段低次插值，结合复化梯形公式计算各区间积分之和，以减少因在[k-1,1]区间直接计算整个梯形面积造成的误差；而江艺羡[7]则利用黎曼积分，以不规则梯形面积取代传统梯形面积构造法，对传统GM(1,1)模型背景值进行优化。从序列数值特点出发，彭振斌等[8]将数据序列抽象为非齐次指数函数构造背景值，构建GM(1,1)模型；Cai[9]则在原始序列间距不一致情况下对背景值进行改进，以扩展经典模型的适用性和精确性。此外，也有学者基于不同角度提出了z(1)(k)的数学表达式[10～12]，也在一定程度上提高了预测精度。而在模型参数估计方面，孟伟等[13]采用粒子群优化算法，Lee等[14]采用遗传算法等对经典模型进行优化都取得了较好的预测效果。

可以看出，在对背景值优化方面，现有研究主要是对紧邻均值构造方法进行改进，且均提出了一定的改进方法，但大部分学者都是对模型某一方面的优化，虽然可以在一定程度上提高精度，但不能系统地减少模型误差；同时在初始值选取方面，由最小二乘法原理可知，拟合曲线并不一定通过点(1,x(1)(1))。虽然有部分学者提出改进方法分别以x(1)(n)为固定点，但在模型涉及多变量的情况下，这种方法的效果还有待检验。

1 经典GM(1,1)模型误差分析

根据GM(1,1)模型基本形式x(0)(k)+az(1)(k)=b的白化方程，即

(1)

对式(1)在[k-1,k]上求积分可得

(2)

(3)

图1 GM(1,1)模型背景值误差来源

经典模型对背景值的计算公式为

z(1)(k)=0.5(x(1)(k)+x(1)(k-1)),k=2,3,…,n

当一次累加生成序列变化较为平缓，且当时间间隔较小时，采取以上方法计算是合适的；但当一阶累加生成序列波动较大时，采取以上方法则会造成较大的误差。从数列生成特征来看，经典模型人为地规定旧信息和新信息同等重要，这并不符合实际。本文将背景值视为变量，即z(1)(k)=(αz(1)(k)+(1-α)z(1)(k-1))，由MRE取到最小值时再确定背景值参数值以及时间响应式具体形式，可以显著降低人为因素造成的误差，提高预测精度。

同时，在对背景值进行优化的基础上，也对初始值进行优化。灰色GM(1,1)模型作为指数预测模型，本质是以x(1)(1)为固定点的静态方程。相较于动态方程，静态方程并不具有基准选值无关性，步长无关性，内在一致性等特征，拟合效果通常要比动态方程更差一些，应用范围也没有动态方程广阔[15]。利用一阶线性差分方程，用一个变动的已知时刻去预测将来的未知时刻的值，对传统数值解法进行改进，可提高拟合精度。

2 灰色GM(1,1)模型的改进

2.1传统GM(1,1)模型

定义1[16]设非负原始序列

X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n))

称X(1)为X(0)的一次累加生成(1-AGO)序列:

X(1)=(x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n))

GM(1,1)模型的原始形式为

x(0)(k)+ax(1)(k)=b

(4)

定义2[17]X(0),X(1)如定义1所示，令

Z(1)=(z(1)(2),z(1)(3),…,z(1)(n))

则GM(1,1)模型的基本形式为

x(0)(k)+az(1)(k)=b

(5)

其白化方程为

(6)

(7)

其还原值为

(8)

(9)

其中k=2,3,…,n。

从(9)式可以看出，GM(1,1)模型的预测精度取决于固定点的选取和参数a,b的值，而a,b的值又取决于背景值的构造。将初始值和背景值进行组合优化可显著提高模型精度。

2.2 灰色GM(1,1)模型的改进

2.2.1 初步改进方法(1)

GM(1,1)模型的基本形式为x0(k)+az(1)(k)=b,其中，

z(1)(k)=0.5(x(1)(k)+x(1)(k-1)),k=2,3,…,n

(10)

带入(8)式可得:

(11)

则a,b可以由下式估计得到：

将a,b计算结果带入(7)式，并根据(5)和(6)式得到拟合序列。

2.2.2 初步改进方法(2)

在方法(1)基础上对模型的背景值进行改进，使平均相对误差取到最小值。其他条件不变，将(10)式改写为

z(1)(k)=(αx(1)(k)+(1-α)x(1)(k-1)),k=2,3,…,n

权重α满足0≤α≤1。由x(0)(k)=x(1)(k)-x(1)(k-1),k=2,3,…,n可得:

(x(1)(k)-x(1)(k-1))+(αx(1)(k)+(1-α)x(1)(k-1))=b

其一阶线性差分方程形式为:

(12)

则a,b可以由下式估计得到:

设上式计算结果为(c1,c2)T，解方程组可得:

a=(c1-1)/(α-αc1-1)

(13)

b=(-c2)/(α-αc1-1)

(14)

2.2.3 综合改进方法(3)

x(1)(k+1)=(x(1)(m)-b/a)e-a(k-m+1)+b/a

其中，m可依次选用m=1,2,…,n。将(13)和(14)带入下式

(15)

(16)

带入(16)式可得

3 算例

我国目前是世界第一大石油进口和消费国。由于我国目前处于工业化阶段的中后期，能耗较大的汽车、家电等产品在经济中比重较高；同时，随着我国经济水平的快速发展，国内对于石油需求大幅提升，石油消费持续较快增长。然而，我国国内石油产量当前还满足不了巨大需求，使得在面临国内外市场供需失衡、市场供给不足时，难以短时间内保障油品供应，不断增长的需求只能通过加大进口来弥补。石油作为我国重要的能源，不仅为生活和生产提供强力的支撑，也关系到社会的安全与稳定。对我国石油年消费量进行预测，不仅有利于维持国内石油供需平衡，也可以为国家重大政策的制定提供依据。

从国家统计局网站获取2006～2017年中国国内石油年消费量，以2006～2015年数据为定参序列数据，2016～2017年数据为模拟序列预测对比数据，即

X(0)=(322,346,364,388,438,453,476,488,518,543)

2016～2017年数据分别为578,590(单位：百万吨)。

首先用未加改进的GM(1,1)模型进行计算。对原始序列进行一阶累加，可得

X(1)=(322,668,1032,1420,1858,

2311,2787,3275,3793,4336)