一元函数泰勒公式的计算方法

王江

摘要：在一元函數泰勒公式的教学中，应引导学生在对泰勒公式的产生背景、推导方法深入理解的基础上，培养学生应用泰勒公式解决实际问题的能力. 本文对泰勒公式的常用计算方法进行了总结.

关键词：泰勒公式;数值计算

泰勒公式是在用简单的初等函数（多项式函数）逼近复杂函数（特别是无理函数和初等超越函数）的背景下产生的，只要误差满足要求，多项式函数对复杂函数的性态和近似计算有着重要的实际应用意义. 学生在学习了泰勒公式之后，碰到关于泰勒公式计算的问题不知如何入手，本文主要总结了4个关于泰勒公式的计算方法。

泰勒定理  若函数在含有的某个开区间内具有直到阶的导数，则对任一，有

上式称为函数在展开的泰勒公式，其中称为佩亚诺型余项，（介于到之间）称为拉格朗日型余项。

1.直接法

利用直接导数的方法进行求解。

例1  按的幂展开多项式。

解：因为，，，，于是

，，，，，所以

。

2.变量替换法

在实际应用中，应用得较多的是泰勒公式在时的特殊情形（称为麦克劳林公式），掌握常用的麦克劳林公式对解题有很大的帮助。常见的麦克劳林公式有：

由的泰勒公式可得与（为常数，为自然数）的泰勒公式，只需令或即可。

例2  求下列函数含佩亚诺余项的麦克劳林公式。

（1）;（2）。

3.分解法

将所求函数分解成已知的泰勒公式进行计算。

例3  求函数含有佩亚诺余项的麦克劳林公式。

解：因为

4.待定系数法

设，将其改写为，若已知与的展开式且可展成泰勒公式，可设，将他们代入，整理后通过比较系数求得，，。

例4求的带佩亚诺余项的三阶麦克劳林公式。

泰勒公式作为高等数学中的一个非常重要的工具，有着广泛的应用，应用泰勒公式计算实际问题，关键是对泰勒定理的本质理解透彻，然后灵活运用，熟能生巧。

参考文献：

[1] 王志平. 高等数学 [M]. 上海：上海交通大学出版社，2012.

[2] 刘玉琏，傅沛仁等. 数学分析讲义（第五版）[M]. 北京：高等教育出版社，2008.