类比推理或然性在小学数学教学中的渗透

张沁汝 翁嘉烯

摘要：推理能力是义务教育数学课程标准提出的十个核心概念之一。类比推理是合情推理的重要形式，对引发猜想、启迪思维和发现结论有关键作用。教师教学中常运用类比推理得出结论，而这也导致对其或然性的忽视。为更好发展小学生的类比推理能力，教师需令其感悟类比推理的或然性，掌握“旧知情境，建类比桥梁”“亲历过程，感类比局限”“说理检验，证类比猜想”的教学策略。

关键词：小学数学;类比推理;或然性;教学策略

类比推理是指根据两个不同对象的某些方面相同或相似，推导或猜想出它们在其他方面可能具有相同或相似的思维形式，是由特殊到特殊的推理方法。它在小学数学中应用广泛，属于数学核心素养推理能力的一部分，有大量研究围绕其培养策略展开。然而，有一点却易被研究者、一线教师忽视：类比推理作为合情推理的一种，有其或然性，会出现看似合情合理、却导致错误的结论。若学生感知于此，他们能够生成碰壁后改变探究策略的宝贵经验;也能够打破思维定式，深入开展探究活动，获得更多数学活动经验。那么，小学数学应如何引导学生感知类比推理可能出错？为此，笔者选择以人教版五年级上册的综合实践活动课“掷一掷”为例，谈谈渗透类比推理或然性的教学策略。

一、旧知情境，建类比桥梁

在教学时，教师首先询问掷一个骰子，朝上点数有哪几种情况;接着请学生说一说各种情况出现的可能性。这是学生日常生活中常接触的游戏，他们较感兴趣;而且刚学完“可能性”一课，他们对这两个问题并不陌生，能够很快回答。

随后教师出示：掷到1、2、5、6朝上，甲赢;掷到3、4朝上，乙赢。询问这一游戏规则是否公平及判断理由。学生回答后教师总结：点数种数多，赢的可能性大。这时教师追问，怎样修改游戏规则，使游戏公平？并请学生填空：点数（）朝上，甲赢;点数（）朝上，乙赢。从而教师总结出只要6种点数平分，游戏就公平。这些问题的难度均不大，是对“可能性”的复习，为两个骰子情况下学生的类比推理做了铺垫。

依据皮亚杰的认知发展阶段理论，学生正处于具体运算阶段。此时类比推理的产生，需借助生活原型，营造具体的情境。同时，类比推理的前提往往为与新知关联的学生已知。学生展开类比推理学习的前提是其原有认知结构中具备了同化新知识的相似概念。如果相似概念缺少、模糊，类比推理活动就难以顺利展开。_[1]

以上两点在此教学设计中均有体现。教师开门见山，创设“掷一个骰子”等生活情境，情境存在学生接触与掌握的旧知，特别是“点数种数多，赢的可能性大”的总结。值得注意的是，此旧知与彼旧知不同，学生利用其类比推理得出的结论将不再正确，新旧知识在某种程度上无法衔接与升华。但它为学生进行类比推理搭建了桥梁，更为学生感悟类比推理的或然性提供了平台。

二、亲历过程，感类比局限

在一个骰子的基础上，教师提问：如果同时掷两个骰子，朝上点数的和有哪几个？学生虽在生活中较少遇到此情况，但已掌握一个骰子的知识，能够独立思考解决。回答为点数和2～12，共11种。教师追问，为什么不可能是1、13，以确保他们完全知晓。接着教师出示另一游戏规则：和是5、6、7、8、9，甲赢;和是2、3、4、10、11、12，乙赢。根据掷一个骰子的经验，你选甲还是乙？多数学生选了乙赢。然而他们的选择并不正确，“点数种数多，赢的可能性大”的经验不适用于此。

因此，教师问经验是否可靠，并请学生利用组内的两个骰子开展游戏，要求在作业纸的图上做记录。图为11×12的表格，末行每格的下方标有数字2～12，每次游戏的点数和是几，就在对应的列上涂空格，涂满任意一列则游戏结束。板书也是亮点之一，教师记录掷一个骰子的经验，画箭头推至掷两个骰子，将先前经验写下并画上问号。板书与学生的思维过程相似，体现类比推理的应用，也说明经验并不绝对，使用还需思考。通过游戏实验，多数小组转变了看法，认为甲赢。

此教学过程实则分为三个步骤：学生类比猜想→实验否定猜想→生成新的猜想。_[2]学生进行类比猜想源于导入环节。这时虽有错误的推理结论，可其并不知晓。另外，学生新的猜想通常能在原猜想被否定后自然产生。

“通过实验否定猜想”这一步骤最为关键。遇到较抽象的数学知识时，如本课事件的发生具有随机性，仅依靠推理与教授确定经验较困难。教师可以引导学生动手实践，如本课开展游戏，令其亲历知识的形成过程，促进对知识的认识由感性向理性转化。此后，学生普遍能够发现错误，加之教师言语、板书的少许引导，他们可以感知依靠已有规律推断不一定正确，凭借的相关经验有待揣度，得出的结论则需被检验，即感知到类比推理的局限性。在有一定类比的经验后，学生可自行舉例类比对象，进行方案设计和实践测量，并在实验后表达思考过程与结果，这便为在考虑其或然性的基础上发展类比推理能力。

三、说理检验，证类比猜想

学生转变猜想后，教师演示计算机模拟实验，掷两个骰子10000次，得到条形统计图，两个骰子和是7的次数最多，朝两端对称递减。学生的猜想得到一定认可。但实验不能解释原因，教师问掷两个骰子什么情况下可以掷出点数和“2”，用算式表示，并追问和是“3”等数字的情况。学生得到和是2“1+1”、3“1+2 2+1”等表示结果。

类比推理可以获得猜想、发现结论，但要使结论具有可靠性，还应与演绎推理有机结合，进行猜想的验证和结论的证明。_[3]此上的实验环节仅能否定先前猜想，而由于样本数量的限制无法验证新猜想;此时请学生用算式表示点数和的情况，让其从数理上理解特征。经过这样的解释，学生对掷两个骰子出现情况的理解更深刻，也使结论更具说服力。除从数理上理解外，教师也应让学生学会举例验证猜想，用反例揭示猜想中不合理的部分，逐步修正完善，以提高类比推理结论的正确性。

综上所述，类比推理或然性的渗透需一定的教学策略，应从课堂的导入、主要内容的传授等多方面设计，形成类似“类比猜想→实验否定猜想→生成新的猜想→分析确认结论”的研究过程，在课堂上既不突兀刻意，又能令学生有所感悟。

参考文献

[1]顾晓东.小学数学教材中的类比推理及教学策略[J].教学与管理，2015（20）：39-42.

[2]曹培英.小学数学合情推理的教学研究[J].小学数学教师，2015（Z1）：8-15.

[3]刘德宏.在小学数学教学中培养学生的类比推理能力[J].教育探索，2016（06）：33-35.

作者简介：张沁汝（2000.06-），女，汉族，浙江宁波人，本科在读，浙江师范大学教师教育学院，研究方向：小学教育;第二作者：翁嘉烯（1999.12-），女，汉族，浙江宁波人，本科在读，浙江师范大学教师教育学院，研究方向：小学教育