正定二次型及其性质的探讨

摘  要：本文主要探讨了正定二次型的理论及其性质，为读者能够较正确深入，清晰的理解和掌握正定二次型的理论及其性质，以及如何判别二次型的正定性，提供一些思路，方法和参考。如有不当之处，望读者给予批评指正。

关键词：正定二次型;正定矩阵;标准型

二次型的理论及其性质是线性代数的主要内容之一，而正定二次型是是实二次型中一类特殊的二次型，占有十分重要的地位.其一是正定二次型在许多实际应用和理论研究中，有着较大的实用价值，比如，它不仅在几何，而且在数学的其它分支学科以及物理和工程技术也常常用到，其二是正定矩阵是依附正定二次型给出的，因而对正定矩阵的性质的考察，有助于更好地理解正定二次型，本文主要是在二次型的基础上研究了正定二次型与正定矩阵的一些性质及相关证明.以便和读者共勉。

1.实二次型的定义

由于正定二次型有着其广泛的應用，如在研究极值问题方面、解决多项式的根和在物理方面的应用等等，但对于一般的二次型，判断其正定性除了根据正定二次型的性质外，一般有三个途径，其一是将二次型通过可逆线性变换化成标准型，然后考察其系数是否全为正数;其二是求二次型矩阵的特征值，看是否全为正数;其三是考察二次型矩阵的顺序主子式是否全部大于零？但是，无论将二次型通过可逆线性变换化为标准形，还是求二次型矩阵A的特征值均非易事！所以通常都是采用第三种途径，即直接利用二次型的矩阵A判别A的各阶顺序主子式是否全部大于零？来判断二次型是否正定。

参考文献

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作者简介：杨付贵（1957.5）男，天津人，副教授。从事最优化方法研究。