基于ARIMA模型的西安市国内生产总值预测分析

胡美

摘要：国内生产总值（GDP）是衡量一个国家经济状况的重要指标，对促进经济增长和协助相关部门做出经济决策具有重要意义。本文以陕西省西安市为例，选取西安市1983年至2019年GDP指标数据作为样本，实证分析找到拟合 GDP 最优模型ARIMA（1，1，1）模型，对西安市GDP数据进行预估、检验。结果表明模型的GDP预测值与实际值误差在5%以内。并运用模型预测西安市未来5年GDP数据。本文对GDP的指标分析具有一定现实意义，希望能为西安市的经济决策提供参考。

关键词：时间序列  ARIMA模型  西安市GDP

一、引言

GDP是衡量一个国家、一个地区经济发展情况的重要指标依据。它是在一定时期内，一个国家或地区的经济中所生产出的全部最终产品和劳务的价值，反映一国的国力与财富。西安市是国务院批复确定的中国西部地区重要的中心城市，是我国四大古都之一，也是联合国科教文组织确定的“世界历史名城”，具有悠久的古韵文化，但其經济总量不高。2019年公布GDP数据虽同比增长7.0%，位居陕西省10市之首，但仍未破万亿元。为使西安市更加符合中心城市的要求，对其GDP数据的研究及相关经济政策的提出，对衡量当地地区经济状况具有一定意义。

二、国内外研究现状

目前，国内外许多学者对GDP的模型预测，大部分集中采用时间序列计量模型与灰色预测模型。时间序列计量模型适用于短期分析，灰色预测适用于通过少量的、不完整的信息，建立数学模型并进行预测。李守丽（2013）运用ARIMA（1，2，3）模型对郑州市2011年到2015年GDP进行预测，模型误差较小。杨探（2018）运用ARIMA（1，1，1）模型，使用1996-2012年的数据对我国城镇居民人均可支配收入进行分析和预测，模型拟合效果较好。王爽、汪海飞（2010）选取1978-2019年海南省GDP数据为研究样本，采用ARIMA（1，1，2）模型对海南省国内生产总值在平均误差 5%内对其做出短期预测。戴琳琳（2019）选取青岛市1990年至2014年GDP指标数据建立ARIMA（1，1，2）模型，对青岛市 GDP 进行预测检验，模型的预测值与实际GDP 值误差较小。对于西安市GDP预测模型研究较少，仅孙爱民（2020）选取西安市2010-2018年的GDP数据建立灰色GM（1，1）模型，对 2019-2023 年的 GDP 数据小误差概率检验进行预测。

三、ARIMA（p，d，q）模型

ARIMA模型全称为自回归求和移动平均模型（Autoregressive Integrated Moving Average Model，简记ARIMA），是由博克思-詹金斯（Box-Jenkins）提出的一种用于进行时间序列预测的模型。称为box-jenkins模型或者博克思-詹金斯法。ARIMA（p，d，q）称为差分自回归移动平均模型，AR是自回归，p为预测模型中采用的时序数据本身的滞后数（lags），MA为移动平均，q为预测模型中采用的预测误差的滞后数（lags），d为时间序列成为平稳序列所做的差分次数。常用自相关函数（ACF）与偏自相关函数（PACF）判断（p，q）。AR自回归模型，MA移动平均模型，ARMA模型都是特殊的ARIMA自回归积分滑动平均模型。

若序列{}通过d阶差分转化为平稳时间序列，即是一个平稳时间序列，且可以拟合成一个平稳可逆ARMA（p，q）模型，序列{}拟合成如下样式：，称为求和自回归移动平均模型ARIMA（p，d，q）

d阶差分运算表示为：

差分后的序列是原序列的若干序列值的加权和，可拟合成一个自回归移动平均模型。当时，ARIMA（p，d，q）即为ARMA（p，q）模型

其中{}为白噪声。给定{}与{}条件下，使用条件MLE估计ARMA（p，q），首先根据ACF（自相关系数）与偏自相关系数（PACF）判断是否存在或情况，若则判断模型为MA（q）

若，则，产生的扰动项与产生的扰动项无交集，即ACF在时等于0，出现截尾。PACF函数拖尾，不包含自回归部分。

如果，则判断模型为AR（p）

PACF函数在时都等于0，出现截尾。ACF函数逐渐衰减，拖尾，不包含移动平均部分。

若以上两情况都不符合，ACF与PACF函数都拖尾。考虑ARMA（p，q）模型。

四、实证分析

（一）数据的处理

本文选取西安市1983-2019年的 GDP 数据作为研究对象，所有数据均来源于《陕西统计年鉴》，如表 1 所示。在其目前现有数据基础上，根据 ARIMA 模型对西安市 GDP 进行预测，样本数据区间为1983-2019年，将样本外2015—2019 年的实际数据与预测数据进行对比，判断模型的拟合效果误差值，进而再预测 2020—2024 年西安市 GDP 的发展情况。

1.平稳性检验。将1983—2019 年西安市GDP数据做折线图，如图1所示，随着时间的推移，直观看出西安市GDP呈现指数增长趋势，初步判断为非平稳的时间序列。为了消除异方差以及指数趋势，对其进行对数化处理，记为 lnGDP。

图 1 西安市 GDP 的时间趋势图

对lnGDP采用ADF单位根检验，检验结果如下表

表2 lnGDP 的 ADF 检验结果

t-Statistic Protb.*

ADF统计量 -1.371277 0.8496

检验标准 1%临界值 -4.28458

5%临界值 -3.562882

10%临界值 -3.215267

注：临界值为MacKinnon（1996）one-sided p-values。

由检验结果得知ADF 统计量为-1.3713，该值明显大于不同显著性水平下的临界值，对应P值大于显著性水平，说明此时间序列存在单位根，lnGDP序列是非平稳的。建立模型必须是平稳序列，对 LNGDP 进行一阶差分，一阶差分序列记为 DlNGDP，并进行单位根检验。如表3所示，ADF 检验的统计量为 -3.6865，该值小于 5% 显著性水平下的临界值 -3.574，即单位根是不存在的，DlNGDP在 5% 显著性水平下是平稳的时间序列。由此可知，DlNGDP序列是一阶单整过程，存在一个单位根。DlNGDP～I（1），可对平稳的DlNGDP构建ARIMA（p，q）模型。

2.ARIMA 模型的建立和求解。运用博克思-詹金斯法，选择合适的p，d和q值，对西安市lnGDP 的一阶差分变量做自相关分析，图2给出西安市lnGDP 的自相关（ ACF）系数和偏自相关（ PACF）系数图。

从图2根据表4判断标准可以看出，自相关系数（ AC）与偏相关系数 （ PAC ）都是拖尾的。但无法确定具体的p与q，大致确定p=1，q=1，但因为信服力不够，本文对其它模型AR（1），MA（1），AR（2），MA（2），ARIMA（1，1，2），ARIMA（1，1，1）进行建模，根据AIC准则、SC准则、R2，DW值确定最佳适合精准度最高的模型。结果如下表所示

根据表5可知，由DW自相关检验可知MA模型存在一阶正自相关，从其余模型根据AIC准则，SC 准则越小越好，判断其最优模型，发现ARIMA（1，1，1）模型优于其他模型，p值为1，q值为1，拟合效果较好。图3是其模型运算结果。

可对lnGDP初步建立ARIMA（1，1，1）模型。利用 1983- 2019 年样本数据建立 ARIMA 模型，结果见下表：取 p=1，q=1，建立 ARIMA（1，1，1）模型：

模型的R2= 0.99，D.W= 2.17

从表6看出模型的LM检验统计量0.7655水平上不拒绝原假设，即模型的残差不存在序列相关，亦可从图4中Q-Stat及其p值显示认为残差序列属于白噪声序列，即模型显著有效。

由表7可得在0.7水平上不拒绝原假设H0：无异方差存在，即所建模型无异方差。

根据 ARIMA（1，1，1）模型对 2015—2019年西安市GDP 进行预测，绘制预测值与实际值误差比较，算出5年的平均误差为3.1252%在5%以内，误差较小，预测准确度较好。

根据西安市1983-2019历史数据，预测2020-2024 年GDP数据值分别为10208.46097亿元、11442.64143亿元、14304.41624亿元、15953.99652亿元，画出拟合图。

从预测中发现，西安市GDP随着时间的推移呈现快速上升趋势，有望于2020年突破万亿元大关，2024年突破1.5万亿元。呈现良好的发展趋势，有助于西安市经济繁荣发展。

五、结束语

通过求和自回归移动平均模型建立的 ARIMA（1，1，1）模型较好地对西安市1983—2019年GDP非平稳时间序列数据进行了拟合，预测出 2020 年到2024 年西安市GDP数据，计算其平均误差百分比为 3.1252%，控制在5%范围内。为西安市政府制定一系列的经济政策提供一定的决策依据。从预测数据中看出，西安市GDP数据有望在2020年突破万亿元大关。本文对GDP分析预测仅考虑其数值，但影响GDP数据的因素有很多，影响机制复杂，日后在考虑其它影响因素方面有待加强改进。

参考文献：

[1]郑少智，杨卫欣.基于ARIMA模型的我国国内生产总值的分析与预测[J].中国市场，2010，000（048）：24-25，28.

[2]李守丽.时间序列模型在地级市 GDP 預测中的应用[D].郑州大学，2013.

[3]杨探.基于ARIMA模型的我国城镇居民人均可支配收入的分析与预测[J].时代金融，2018（26）：54-55.

[4]王爽，汪海飞.基于ARIMA模型的海南省国内生产总值预测[J].对外经贸，2020（04）：44-46.

[5]戴琳琳.基于ARIMA模型的青岛市GDP预测分析[J].河北能源职业技术学院学报，2019，19（03）：60-62.

[6]孙爱民.基于改进GM（1，1）模型的西安市GDP预测[J].价值工程，2020，39（09）：88-92.

[7]王燕.应用时间序列分析 - 第 2 版[M].中国人民大学出版社，2008.

作者系西安工业大学经济管理学院经济学硕士研究生