钢琴泛音非协和性对八度音程的影响*

胡倩如

（西安音乐学院，陕西 西安 710061）

国际第一标准音是钢琴键盘第49键的A，即49A，频率为440 Hz。钢琴制定的标准音也是49A，但是，钢琴制定平均律的十二个音的起始音是低于标准音一个八度的37A。钢琴琴弦的属性决定其发音会受到泛音非协和性影响，泛音非协和性影响八度的宽度。

钢琴调律的常规程序，第一步是用440 Hz音叉或校音器等纯音将49A的一根弦调至440 Hz，进而将49A的三根弦调至相同频率；第二步是用49A下行八度调49A～37A；第三步从37A起，在33F～45F的八度调平均律；最后进行八度扩展，将全琴调律完毕。从调律师对钢琴的调律程序可知，第一个八度极其重要。

1 钢琴琴弦泛音非协和性原理

理想琴弦在振动时，除了整段琴弦振动，分段琴弦也同时在振动，分段振动的频率是整段振动的整数倍。即一根440 Hz的琴弦，它的1/2段琴弦振动产生了二倍音，频率是整段琴弦的二倍，即880 Hz；三倍音的频率是440 Hz的三倍，即1 320 Hz。琴弦的泛音理论中，琴弦在分段振动时会产生与其相应的倍音，即整数倍的倍音。然而，琴弦振动时，尽管有抗弯性，但由于自身的刚性，其分割的段长会比理论值短一点。因此，它的倍音会比理论值高。

1.1 影响琴弦泛音非协和性的因素

泛音非协和性对于多数弦乐器的影响是轻微的，容易被忽略。因为多数乐器的琴弦非常细并且易弯曲，只有少许固有的非协和性。另外，很多弦乐器琴弦支撑也相对短，并且音量不大，演奏者经常可以弯曲琴弦来改变音高。但是在钢琴上，泛音非协和性的影响可以很明显地听出来，因为钢琴的琴弦又粗又硬。

其中，B是泛音非协和性系数；K是常量，代表琴弦材料；d是琴弦直径；f是琴弦频率，可等同于张力；l是琴弦长度。

由公式可知，琴弦的非协和性由四个因素决定：材料、直径、长度、张力。这四个因素由钢琴设计者决定，调律师无法控制。

1.2 添加泛音非协和性后琴弦的变化

尽管不同琴弦的泛音非协和性系数不同，但分布在分段琴弦振动的倍音中的量是一样的，即按几何级数递增，是倍音数的平方。琴弦泛音非协和性的量等于谐音数的平方乘以B。例如，第一倍音是1²乘以B；第二倍音是22乘以B等。换言之，在高频倍音中，这种泛音非协和性会更明显。

为一根A4弦添加不协和系数，来说明它的一系列倍音的频率是如何被影响的。钢琴中音区这部分B（非协和性系数）大概0.5左右，B乘以每个倍音的平方，可以计算出高频倍音偏离其理论频率的量。当B=0.5时，A4的前六个倍音的偏差值见图1。可以看出，一根琴弦的倍音随着倍音数的递增，其偏差值越来越大。

2 泛音非协和性影响八度音程的宽度

在八度音程中，两根琴弦有一系列的共同倍音，冠音的一倍音（基音）和根音的二倍音的音高频率一致，即在2∶1层级中，为共同倍音。向上还有4∶2层级以及6∶3层级。在理想琴弦中，音程在这三个层级中可同时吻合。也就是说，这三个层级的共同倍音能够同时在这三个层级调至一个无拍音状态。然而，由于泛音非协和性因素的影响，情况发生了变化。如图2所示，两根相同非协量的琴弦，为八度音程，其基音的频率值为理论平均值的二倍。在这个八度音程中，泛音中每一层级都没有吻合。尽管两个基音的频率比已达到理论的2∶1，但是听起来会有些窄，因为冠音所有的倍音都比根音相对应的共同倍音低。

调音时，调律师更注重听的是拍音，而不是基音。听拍音，耳朵会集中在拍频的变化以及共同倍音是否纯上。在理想琴弦中，八度音程可以做到在三个层级中的共同倍音同时调纯。然而，现实琴弦的八度音程，不能将三个层级同时调纯。只能随着逐渐拉宽八度音程，首先在2∶1层级调纯，进而是4∶2层级，最后是6∶3层级。其对应关系如图3～图5所示。

图3中，A3～A4这个八度，将根音降低，使其在2∶1层级的共同倍音一致，即在2∶1层级是纯的。这个八度听起来不错，但是，此八度在4∶2层级和6∶3层级是窄的。

图4中，拉宽八度，使其在4∶2层级的共同倍音一致，即在4∶2层级是纯的。但是，此八度在6∶3层级依然窄，但是在2∶1层级变宽。

图1 当B=0.5时，A4前六个倍音的偏差值

图2 两根琴弦在相同泛音非协和性下基频调纯的情况

图3 两根琴弦在相同泛音非协和性下2∶1层级调纯的情况

图4 两根琴弦在相同泛音非协和性下4∶2层级调纯的情况

图5 两根琴弦在相同泛音非协和性下6∶3层级调纯的情况

图5中，将八度拉得更宽，使其在6∶3层级的共同倍音一致，即在6∶3层级是纯的。但是，此八度在2∶1层级和4∶2层级都是宽的。

3 选择不同检验音程确定八度音程宽度

由上文可知，由于钢琴琴弦的泛音非协和性，如果只考虑基音频率值对应八度频率值来进行调律，听觉上八度音程会窄，并且在调律中不能同时将每个层级调纯。基于这个特性，用音叉校对49A后，向下调八度音37A，可用不同的检验音来检验八度，使该八度的宽度不同。

当在2∶1层级调纯时，为了确定该八度的距离，通常使用F2作为检验音，因为A3与A4的2∶1层级的共同倍音是A4，那么F2的第五倍音就是A4，通过由F2～A3构成的大十度和F2～A4构成的大十七度拍频一致来检验这个八度，本质上还是利用大三度的频率来获得听觉上的一致。

当在4∶2层级调纯时，为了确定该八度的距离，通常使用F3作为检验音，因为A3与A4的4∶2层级的共同倍音是A5，那么F3的第五倍音就是A5，通过由F3～A3构成的大三度和F3～A4构成的大十度拍频一致来检验这个八度。

当在6∶3层级调纯时，为了确定该八度的距离，通常使用C4作为检验音，因为A3与A4的6∶3层级的共同倍音是E6，那么C4的第五倍音就是E6，通过由A3～C4构成的小三度和C4～A4构成的大六度拍频一致来检验这个八度。

虽然有不同检验音来设定八度音程的宽度，但是，琴弦泛音非协和性的特点让调律师在选择起始八度时往往不会选择在2∶1层级，因为在2∶1层级调纯，在4∶2层级以及6∶3层级中八度听起来会窄。在钢琴这件和声乐器中，相隔数个八度的和声的协和性非常重要。因此，调律师多用F3作为第一个八度，用A3～A4来检验该八度的宽度，进而确定A3的音高，完成十二平均律每个音的音高设置。