“命题的否定”与“否命题”概念辨析

丁阳会

摘  要：“命题的否定”与“否命题”是学生学习常用逻辑用语的过程中经常遇到的疑惑点，只有深刻理解两个概念的本质并充分运用数学转化与化归的思想才能拨云见日.

关键词：命题，否定，否命题

问题1 在数学中，有很多“若p，则q”形式的命题，有的是真命题，有的是假命题.例如

①若x>1，则2x+1>5;（假命题）

②若四边形为等腰梯形，则这个四边形的对角线相等.（真命题）

这里，命题①②都是省略了量词的全称量词命题.

有人认为，①的否定是“若x>1，则2x+1≤5”，②的否定是“若四边形为等腰梯形，则这个四边形的对角线不相等”.你认为对吗？如果不对，请你正确地写出命题①②的否定.

问题2 判断下列命题是否正确：

①“若2x+1>5，则3x+1<10”的否定是“若2x+1>5，则3x+1≥10”;

②“平行四边形是矩形”的否定是“平行四边形不是矩形”;

③“ ”的否定是“ ”;

④“等腰梯形的对角线相等”的否命题是“等腰梯形的对角线不相等”;

⑤“ ， ”的否命题是“ ， ”;

⑥“若 ，则 ”的否命题是“若 ，则 ”.

其中，问题1是2019年新人教版普通高中教科书《数学》（必修第一册）第一章习题1.5“拓广探索”中给出了一道思考题，显然“若x>1，则2x+1≤5”是一个假命题，它不是命题“若x>1，则2x+1>5”的否定，“若四边形为等腰梯形，则这个四边形的对角线不相等”虽然是一个假命题，但它也不是②的否定，那么正确答案是什么呢？新人教版（2019）教科书与原人教版（2007）相比，只保留了充分条件与必要条件，全称量词命题和存在量词命题及其否定（原人教版教材称为“全称命题与特称命题”），删除了四种命题及其关系和简单的逻辑联结词.但是我们要解决问题1，还要从“命题的否定”与“否命题”两个基本概念谈起.

对一个命题进行全盘否定，就得到一个新命题，这一新命题就称为原命题的否定，它和原先的命题只能一真一假，不能同真或同假.【1】对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题，如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题.互否命题针对的是“若p，则q”形式的命题.【2】显然“命题的否定”与“否命题”是两个不同的概念.

有人认为命题“若p，则q”的否命题是既否定条件，又否定结论，而它的否定则是只否定结论，不否定条件，这种说法前半句正确，后半句则是错误的，例如命题“若 ，则 ”是假命题，“若 ，则 ”也是假命题，显然它不是原命题的否定.那么，“若 ，则 ”的否定该如何书写呢？

我们要书写一个命题的否定首先要明确这个命题的结构，在高中教材中，常见的命题按结构可以分为以下几类：单称命题（例如2是偶数）、若 ，则 型、复合命题（含有逻辑联结词“或”、“且”）、全称量词命题、存在量词命题.单称命题的否定是直接进行否定，例如“2是偶数”的否定是“2不是偶数”，复合命题“ ”的否定分别为“ ”，全称量词命题“ ”的否定为存在量词命题“ ”、存在量词命题“ ”的否定为全称量词命题“ ”.对于“若 ，则 ”型的命题，我们在中学阶段一般只书写他的逆命题、否命题、逆否命题，如果要书写它的否定，则需要把它改写成全称量词命题，然后再书写它的否定，例如上面的命题“若 ，则 ”改写为全称量词命题“ ， ”，其否定就应该是“ ， ”，这是一个真命题，与原命题真假性相反.同样，我们要书写一个命题的否命题，首先也要把它改写成“若 ，则 ”型的命题，例如书写命题“2是偶数”的否命题，应该先把它改写成“若一个整数是2，则这个整数是偶数”，再书写它的否命题为“若一个整数不是2，则这个整数不是偶数”.问题1中的两个命题是省略了量词的全称量词命题，应该将两个命题加上量词并改写成如下命题：“x>1，2x+1>5”，“所有的等腰梯形的对角线都相等”.它们的否定分别为：“ x>1，2x+1≤5”（真命题），“存在一个等腰梯形，它的对角线不相等”（假命题）.

问题2中的说法都是错误的.具体分析如下：

①中的两个命题都是假命题，因而是错误的，应该先把原命题化简再改写成全称量词命题“x>2，x<3”，其否定应该是“ x>2，x≥3”，这是一个真命题.

②中两者也都是假命题，显然错误，原命题是省略了量词的全称量词命题，应将其改写为“所有的平行四边形都是矩形”，其否定应该是“至少有一个平行四边形不是矩形”，这是一个真命题.

③“ ”等價于“ ”，“ ”等价于“ ”，两者显然不能互为否定，“ ”的否定为“ ”，所以“ ”的否定是“ ”.

④应该将原命题改写为“若一个四边形是等腰梯形，则它的对角线相等”，它的否命题为“若一个四边形不是等腰梯形，则它的对角线不相等”.

⑤应该将原命题改写为“若 ，则 ”，它的否命题是“若 ，则 ”;

⑥应该将原命题化为等价命题“若 ，则 ”，它的否命题是“若 ，则 ”.

小结：不论是书写命题的否定还是否命题，都要先分清命题的结构，再严格按照定义来写，必要的时候还要对原命题进行化简，进行等价变形，否则也容易出错，对于命题否定的书写是否正确，要养成用命题与命题的否定真假性相反这一规则进行检验的习惯.

参考文献：

[1]人民教育出版社 课程教材研究所 中学数学程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书·数学必修第一册（A版）[M].北京：人民教育出版社，2019

[2]人民教育出版社 课程教材研究所 中学数学程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书·数学选修2-1（A版）[M].北京：人民教育出版社，2007