含有一个量词的命题的否定

曹胜才

从命题形式上看，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，该内容常与命题的真假性判断结合考查. 对含有一个量词的命题的否定首先得弄清以下几点：（1）弄清命题是全称命题还是特称命题，是正确写出命题的否定的前提. （2）注意命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定. （3）“[p或q]”的否定为：“[? p]且[? q]”;“[p]且[q]”的否定为：“[? p]或[? q]”. （4）要判断“[? p]”命题的真假，可以直接判断，也可以判断“[p]”的真假，因为[p]与[? p]的真假相反.

含有一个量词的命题的否定

例1  命题“所有不能被2整除的整数都是奇数”的否定是（   ）

A. 所有能被2整除的整数都是奇数

B. 所有不能被2整除的整数都不是奇数

C. 存在一个能被2整除的整数是奇数

D. 存在一个不能被2整除的整数不是奇数

解析  否定全称命题和特称命题时，一定要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词，二是要否定结论.

答案  D

例2  “[?x∈A，x2-2x-3>0]”的否定为（   ）

A. [?x∈A，x2-2x-3<0]

B. [?x?A，x2-2x-3≤0]

C. [?x∈A，x2-2x-3>0]

D. [?x∈A，x2-2x-3≤0]

解析  特称命题的否定为全称命题，

故“[?x∈A，][x2-2x-3>0]”的否定为：“[?x∈A，x2-2x][-3≤0]”.

答案  D

点拨  （1）对全（特）称命题进行否定的方法：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，并且改变量词或符号（全称量词[?]特称量词）;②找到[p（x）]并否定. （2）“否命题”与“命题的否定”的区别.“否命题”与“命题的否定”不是同一概念，否命题是对原命题“若[p]则[q]”的否定，既否定其条件，又否定其结论，它们之间没有真假关系. 而“命题[p]的否定”即“[?p]”是否定命题中的结论，它们之间真假相反.如：例2中不要错选成B.

与含一个量词的命题的否定有关的参数取值范围问题

例3  已知命题“[?x∈R，x2+2ax+1<0]”是假命题，则实数[a]的取值范围是（   ）

A. [（-∞，-1）] B. [（1，+∞）]

C. [（-∞，-1）?（1，+∞）] D. [-1，1]

解析  由题意知，原命题的否定：[?x∈R，x2+2ax+1][≥0]为真命题，即Δ[=4a2-4≤0]，

[∴-1≤a≤1].

答案  D

例4  已知命题[p]：[?x∈0，1，a≥ex]，命题[q]：“[?x0∈R，x02+4x0+a=0]”，命题“[p∧q]”是假命题，则实数[a]的取值范围是（   ）

A. [-∞，4] B. [（-∞，1）?（4，+∞）] C. [（-∞，e）?（4，+∞）] D. [1，+∞]

解析  当[p]为真命题时，[a≥e].

当[q]为真命题时，[x2+4x+a=0]有解，

则[Δ=16-4a≥0，]

[∴a≤4].

法一：[p∧q]的否定为真命题，即[? p∨?q]为真命题，

[∴a]的取值范围是[（-∞，e）?（4，+∞）].

法二：若[p∧q]为真命题时，[e≤a≤4]，

[∴]“[p∧q]”为假命题时，[a4].

点拨  （1）[p，q]为真命题时，分别求出相应参数的范围;（2）用补集思想，求出[?p]，[?q]对应的参数范围;（3）由复合命题真假转化为集合基本运算综合得参数范围.

全称命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具备某一性质，无一例外，而特称命题中的存在量词却表明给定范围内的对象，有例外，两者正好构成了相反意义的表述，所以全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.

常见量词的否定

[词语＼&词语的否定＼&词语＼&词语的否定＼&等于＼&不等于＼&至多一个＼&至少两个＼&大于＼&不大于（即小于或等于）＼&至少一个＼&一个也没有＼&小于＼&不小于（即大于或等于）＼&任意＼&某个＼&是＼&不是＼&所有的＼&某些＼&都是＼&不都是（与“都不是”区别开）＼&一定＼&不一定＼&]

练习

1. 命题“所有奇数的立方都是奇数”的否定是（   ）

A. 所有奇数的立方都不是奇数

B. 不存在一个奇数，它的立方是偶数

C. 存在一个奇数，它的立方是偶数

D. 不存在一个奇数，它的立方是奇数

2. 设[x∈Z]，集合[A]是奇数集，集合[B]是偶数集，若命题[p：?x∈A，2x∈B]，则（   ）

A. [? p：?x∈A，2x?B]

B. [? p：?x?A，2x?B]

C. [? p：?x?A，2x?B]

D. [? p：?x∈A，2x?B]

3. 在一次跳伞训练中，甲、已两位学员各跳一次.设命题[p]是“甲降落在指定范围”，[q]是“乙降落在指定范围”，则命题：“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（   ）

A. [（?p）∨（?q）]     B. [p∨（?q）]

C. [（?p）∧（?q）]   D. [p∧q]

4. 已知“命题[p：?x∈R]，使得[ax2+2x+1<0]成立”为真命题，则实数[a]满足（   ）

A. [0，1]   B. [（-∞，1）]

C. [1，+∞]   D. [-∞，1]

5. 已知[f（x）=3sinx-πx，]命题[p：?x∈（0，π2），f（x）<0，]则（   ）

A. [p]是真命题，[?p：?x∈（0，π2），f（x）>0]

B. [p]是真命题，[?p：?x0∈（0，π2），f（x0）≥0]

C. [p]是假命题，[?p：?x∈（0，π2），f（x）≥0]

D. [p]是假命题，[?p：?x0∈（0，π2），f（x0）≥0]

6. 已知命题[p1]存在[x∈R]，使得[x2+x+1<0]成立;[p2]对任意[x∈1，2]，[x2-1≥0.] 以下命题为真命题的是（   ）

A. [?p1∧?p2]   B. [p1∨?p2]

C. [?p1∧p2]     D. [p1∧p2]

参考答案

1. C  全称命题的否定，改变量词为“存在一个”，然后否定结论即可.

2. D  全称命题的否定，注意符号变化，不要错选C.

3. A  复合命题的否定，“至少有一位学员没有降落在指定范围内”的否定是“都降落在指定范围”即“[p∧q]”的否定.

4. B  注意讨论，若[a=0]时，符合题意;若[a≠0]，则[△=4-4a>0]即[a<1].

5. B  [f（x）=3cosx-π<0]，[f（x）在（0，π2）]上是减函数，[f（x）

6.  C  由题意知[p1]为假命题，[p2]为真命题.