正余弦信号的谱分析

唐女智 韩琨 师子珍

摘 要：数字信号处理方法的一个重要用途是在离散时间域中确定一个连续时间信号的频谱，通常称为频谱分析，更具体的说它也包括能量谱或功率谱，所谓信号的谱分析就是计算信号的傅里叶变换，而 DFT的实质是有限长序列傅里叶变换的有限点离散采样，从而实现了频域离散化，使数字信号处理可以在频域采样数值运算的方法进行，这样就大大提高了数字信号处理的灵活性，从而使信号的实时处理和设备的简化得以实现。本文分析了谱分析的原理，综述了DFT谱分析的误差和改善方案以及选取参数的方法。

关键词：数字信号处理;频谱分析;DFT

1 DFT对连续信号谱分析原理

工程实际中，经常遇到连续信号xa（t），其频谱函数Xa（j）也是连续函数。为了利用DFT对xa（t）进行谱分析，先对xa（t）进行时域采样，得到x（n）=xa（nT），再对x（n）进行DFT，得到的X（k）则是x（n）的傅里叶变换在频域区间[0，2π]上的N点等间隔采样。x（n）和X（k）均为有限长序列。然而，由傅里叶变换理论知道，若信号持续时间有限长，则其频谱无限宽;若信号的频谱有限宽，则其持续时间必然为无限长。所以严格的讲，持续时间有限的带限信号是不存在的。因此，按照采样定理采样时，上述两种情况下的采样序列x（n）=xa（nT）均应为无限长，不满足DFT的变换条件。实际上对于频谱很宽的信号，为了防止时域采样后产生频谱混叠失真，可用预滤波器滤除幅度较小的高频成分，使连续信号的带宽小于折叠频率。对于持续时间很长的信号，采样点数太多，以致无法存储和计算，只好截取有限点进行DFT。由上述可见，用DFT对连续信号进行频谱分析必然是近似的，其近似程度与信号带宽、采样频率和截取长度有关。实际上从工程角度看，滤除幅度很小的高频成分和截去幅度很小的部分时间信号是允许的。因此，在下面分析中，假设xa（t）是经过预滤波和截取处理的有限长带限信号。

2 DFT进行谱分析的误差和改善

DFT可以用来对连续信号和数字信号进行谱分析，但在实际分析过程中，要对连续信号采样和截断，有时非时限数据序列也要截断，因此可能引起分析的误差。

2.1 DFT谱分析的误差

1.混叠现象

对连续信号进行谱分析时，首先要对其进行采样，变成时域离散信号后才能用DFT（fft）进行谱分析。采样速率Fs必须满足采样定理，否则会在w=π（对应模拟频率f=Fs/2）附近发生频谱混叠现象。这是用DFT分析结构必然在f=Fs/2附近产生较大误差。因此，理论上必须满足Fs≥2fc（fc为连续信号的最高频率）。对Fs确定的情况，一般在采样前进行预滤波，滤除高于折叠频率Fs/2的频率成分，以免发生频谱混叠现象。

2.栅栏效应

N点DFT是在频率区间[0，2π]上对时域离散信号的频谱进行N点等间隔采样，而采样点之间的频谱是看不到的。这就好像从N个栅栏缝隙中观看频谱的情况，仅得到N个缝隙中看到的频谱函数值，这就是栅栏效应。

3.截断效应

（1）泄露：原来序列x（n）的频谱是离散谱线，经截断后，使原来的离散线向附近展宽，通常称这种展宽为泄露。泄露可以是频谱变模糊，使谱分辨率降低。频谱泄露程度与窗函数幅度谱的主瓣宽度直接相关，在所有的窗函数中，矩形窗的主瓣是最窄的，但其旁瓣的幅度也最大。所以，在窗函数长度N相同时，用矩形窗截取，产生的泄露最小。

（2）谱间干扰：在主谱线两边形成很多旁瓣，引起不同频率分量间的干扰（简称谱间干扰），特别是强信号谱的旁瓣可能湮没弱信号的主谱线，或者把强信号谱的旁瓣误认为是另一频率的信号谱线，从而造成假信号，这样就会使谱分析产生较大的偏差。由于矩形窗的旁瓣最大，所以，用矩形窗截取时，产生的谱间干扰最大。

（3）截断效应就是由以上两种影响对信号截断引起的。增加N可使Wg（w）的主瓣变窄，减小泄露，提高频率分辨率，但旁瓣的相对幅度并不减小。为了减小谱间干扰，应用其它形状的函数窗代替矩形窗。但在N一定时，旁瓣幅度越小的窗函数，其主瓣就越宽。所以，在DFT变换期间N一定时，只能以降低谱分析分辨率为代价，换取谱间干扰的减小。

2.2 DFT谱分析误差的改善

1.栅栏效应的改善

在连续谱分析中，若谱分析的参数选择满足前述的几个原则，则栅栏效应也可忽略不计，信号经过DFT后所得的离散谱线的包络线也可近似的视为是原信号的频谱。

2.频率混叠的改善

连续信号的谱分析首先要经过时域离散化即采样，然后才能通过DFT实现频域离散化。从理论上来说，要满足采样定理fs≥2fc，否则由于傅立叶的周期性，容易在ω=π附近发生频率混叠现象。但是在实际的工程应用中，一般采样频率fs要取到连续信号最高频率（用fh表示）的三至五倍

3.截断效应的改善

当截取长度一定的情况下，如果要改善泄漏，就要提高谱线密度而增大分辨率，这势必会增大谱间干扰;如果要改善谱间干扰，就要降低谱线密度而减小分辨率，这又会增大泄漏。因此在对系统的分析和设计时，要抓住矛盾的主要方面，分析具体是哪一类截断效应占主导，然后再去进行处理。

3 谱分析参数选取方法

谱分析中有几个重要的参数，如频率分辨率F、采样点数N、观察时间Tp、采样频率fs等等，参数的选择有如下几个原则：

1.根据时域采样定理;

2.频率分辨率，因此采样点数;

3.最小观察时间（又称记录时间）至少应包含一次完整的采样过程，

作者简介：

唐女智（1999-1），女，侗，湖南省懷化市，本科，学生，研究方向：信息与通信。

韩琨，2000.8，男，汉，山东省乐陵市，本科在读，学生， 研究方向：通信工程.

师子珍，2001.7，女，汉，山西省临汾市，本科，学生，研究方向：通信工程。