一些计算现象

邓柯 冯利民

当我们在进行竖式计算的时候，加减法的运算顺序为a的个位数到b的个位数，再由a的十位数到b的十位数，如有更多位数则依次添加。如12加16得28，16减12得4。乘法的运算顺序为a的个位数和十位数分别乘以b的个位数，又到a的个位数和十位数分别乘以b的十位数，12乘以16得192。这就是加减法和乘法的运算顺序。

现在当我们用乘法的运算顺序来算加法的时候，会出现一些看似无意义的结果。比如12和16，用2和1分别加6后再用2和1分别加1，结果会是308。举另一例，12和16每一位各加一后是23和27，结果是550。单独拿这些结果来看并没有意义，但当你用这个结果减去a和b的和时，你会发现结果总是它们的和的十倍。如308-（12+16）=308-28=280，550-50=500。在a和b为正的二位数的情况下，就一定会有这个现象。

我们把在竖式计算中以乘法的运算顺序进行加法的运算符号暂写为“Ж”（因为此符号看着像竖线与斜线的组合，而竖式计算中也只有竖和斜的方向），就有公式（aЖb）-（a+b）=10（a+b），其中a、b>0且为二位数。

以下为简单的证明。

设a的十位数和个位数分别为A、B，b的十位数和个位数分别为C、D，

则a=10A+B，b=10C+D，10>A、B>0，10>C、D≥0，且A、B、C、D∈Z。

aЖb=10A+BЖ10C+D

=（B+D）+10（A+D）+10（B+C）+100（A+C）

=B+D+10A+10D+10B+10C+100A+100C

=110A+11B+110C+11D

a+b=（10A+B）+（10C+D）=10A+B+10C+D

10（a+b）=10[（10A+B）+（10C+D）]

=10（10A+B）+10（10C+D）

=100A+10B+100C+10D

（aЖb）-（a+b）=110A+11B+110C+11D-10A-B-10C-D

=100A+10B+100C+10D

=10[（10A+B）+（10C+D）]

=10（a+b）

然而正二位數恒等式仅对正二位数有效，那么正n位数有没有类似的现象呢？

经过对正二位数恒等式的推导，我们可以得出正三位数的恒等式为（aЖb）-11（a+b）=100（a+b），正四位数恒等式为（aЖb）-111（a+b）=1000（a+b），正五位数恒等式为（aЖb）-1111（a+b）=10000（a+b）……这里有着明显的规律，所以我们得出正n位数恒等式：（aЖb）-n-1个1（a+b）=10^n-1（a+b）。

而“n-1个1”显然不是个数学语言，所以通过-[（1-10^n-1）/9]来表示。则有（aЖb）+[（1-10^n-1）/9]（a+b）=10^n-1（a+b），经化简得aЖb={（a+b）[（10^n）-1]}/9。

且化简后的正n位数恒等式不仅能用于所有n>2且∈Z的情况，还能用于一位数和二位数。

所以，每两个位数相等的正整数都遵循aЖb={（a+b）[（10^n）-1]}/9，而“Ж”就是那无厘头的运算。

作者简介：

邓柯（2001-），男，广西玉林博白县，广西玉林博白县博白镇海龙苑小区，学生。

冯利民（2001-），男，广西省博白县，学生。