数学归纳法及其应用数学归纳法及其应用

倪双云 李国贤 梁沛繁

摘 要：近年来，教育改革的发展越来越重视对学生学习能力和专业能力的培养。新课标要求教师要创新自己的教学模式，从学生的角度进行教学，真正地提高学生的逻辑能力。数学是一门重要的学科，需要学生有足够的分析能力和总结问题的能力，让他们可以全面掌握复杂的数学知识点。数学归纳法是解决数学问题十分关键的一种方法，对于数学学习有着重要的意义。本文分析了数学归纳法的概念，并总结了归纳法在数学学习中的应用。

关键词：数学归纳法;应用数学归纳法;应用

数学归纳法是应用十分广泛的一种数学学习方法，在不等式证明、数列通项以及其他证明题目中都有涉及。数学归纳法是一种逻辑推理的方法，可以将归纳原理和学生的逻辑思维能力结合，不仅在证明题目中有涉及，在其他的数学领域内应用也十分广泛[1]。在解题过程中运用数学归纳法，不仅可以降低题目的难度，简化计算的过程，还可以让学生深入理解数学的本质问题，提高学生解决数学问题的能力。

一、数学归纳法的概念

数学归纳法是数学证明方法的一种，可以证明许多既定命题在自然数的范围内是否成立，且在数学的各个知识领域中都有涉及。除自然数外，数学归纳法也可以证明一般良基结构[3]。数学归纳法在应用中十分灵活，有利于学生数学学习。

最常见的数学归纳法是证明当n等于任意一个自然数时某命题成立。证明当n=1时命题成立。假设n=m时命题成立，那么可以推导出在n=m+1时命题也成立。这种方式的原理是首先要证明在某個起点数值时命题成立，然后证明数值的过程。当这两点都得到证明以后，那么任意的数值都可以通过数学归纳法得出结论。

二、数学归纳法的应用

（一）数学归纳法在数列中的应用

数学归纳法在证明题目中运用十分广泛，在解决题目时要主动利用数学归纳法进行思考。用数学归纳法证明：（3n+1）×7n -1（n∈N*）可以被9整除。我们可以用两种方法进行证明。第一种方法，令f（1）=（3n+1）×7n-1（n∈N*），（1）f（1）=（3×1+1）×7l-1=27 能被9整除。（2）假设f（k）（n∈N*）能被9整除，所以f（k+1）- f（k）= [（3k+4）×7k+1-1]-[（3k+1）×7k-1]=9（2k+3）×7k。所以，f（k+1）=f（k）+ 9（2k+3）×7k能被9整除。从这两个推理结果可以知道，对一切n∈N*，命题都是成立的。第二种方法，（1）n=1，原式=4×7-1=27可以被9整除（2）若n=k（k≥1，k∈N*），（3k+1）×7*-1可以被9整除，所以n=k+1时，[3（k+1）+1]×7k+1-1=[（3k+1）+3]（1+6）×7k-1=（3k+1）×7k-1+（3k+1）×6×7k +21×7k=[（3k+1）×7k-1]+18k×7k +27×7k。所以，n=k+1时也可以整除。从我们的计算中国可以得出，对任何n∈N*，（3n+1）×7n-1可以被9整除。通过利用数学归纳法进行证明整除性问题，我们要进行凑项，通过增加项与减少项、拆分项和因式分解等方式去拼凑出n=k的项，从而利用数学归纳法进行题目的计算，使设想得到证明。通过在数列中运用数学归纳法，可以加深印象，了解数学的本质。

（二）数学归纳法在不等式中的应用

三、结语

综上所述，数学归纳法不仅是数学证明题中的解决方法，还是掌握数学原理和数学规律的重要方法。教师通过数学归纳法进行教学，可以引导学生深入了解数学本质的问题，从根部掌握数学知识，提高自身解决问题的能力。同时教师应该对数学归纳法进行研究，分析总结出适合利用数学归纳法的题型，探究数学归纳法的本质，让学生能够更好地掌握数学归纳法，高效率地解决数学问题。

参考文献

[1]淮旭鸽，邓仕超，李彩林，王伟强，庄未，黄用华.数学归纳法在平面机构自由度公式中的应用[J].智库时代，2018（40）：111-113.

[2]甘志国.数学归纳法的一个应用——探究“用天平找次品”的一般规律[J].中学数学研究（华南师范大学版），2013（09）：37-38.

[3]张鸿超.浅析数学方法在中学数学解题过程中的应用[J].阴山学刊（自然科学版），2014，28（01）：95-98.