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数学归纳法及其应用数学归纳法及其应用

2020-10-20倪双云李国贤梁沛繁

锦绣·上旬刊 2020年6期
关键词:应用

倪双云 李国贤 梁沛繁

摘 要:近年来,教育改革的发展越来越重视对学生学习能力和专业能力的培养。新课标要求教师要创新自己的教学模式,从学生的角度进行教学,真正地提高学生的逻辑能力。数学是一门重要的学科,需要学生有足够的分析能力和总结问题的能力,让他们可以全面掌握复杂的数学知识点。数学归纳法是解决数学问题十分关键的一种方法,对于数学学习有着重要的意义。本文分析了数学归纳法的概念,并总结了归纳法在数学学习中的应用。

关键词:数学归纳法;应用数学归纳法;应用

数学归纳法是应用十分广泛的一种数学学习方法,在不等式证明、数列通项以及其他证明题目中都有涉及。数学归纳法是一种逻辑推理的方法,可以将归纳原理和学生的逻辑思维能力结合,不仅在证明题目中有涉及,在其他的数学领域内应用也十分广泛[1]。在解题过程中运用数学归纳法,不仅可以降低题目的难度,简化计算的过程,还可以让学生深入理解数学的本质问题,提高学生解决数学问题的能力。

一、数学归纳法的概念

数学归纳法是数学证明方法的一种,可以证明许多既定命题在自然数的范围内是否成立,且在数学的各个知识领域中都有涉及。除自然数外,数学归纳法也可以证明一般良基结构[3]。数学归纳法在应用中十分灵活,有利于学生数学学习。

最常见的数学归纳法是证明当n等于任意一个自然数时某命题成立。证明当n=1时命题成立。假设n=m时命题成立,那么可以推导出在n=m+1时命题也成立。这种方式的原理是首先要证明在某個起点数值时命题成立,然后证明数值的过程。当这两点都得到证明以后,那么任意的数值都可以通过数学归纳法得出结论。

二、数学归纳法的应用

(一)数学归纳法在数列中的应用

数学归纳法在证明题目中运用十分广泛,在解决题目时要主动利用数学归纳法进行思考。用数学归纳法证明:(3n+1)×7n -1(n∈N*)可以被9整除。我们可以用两种方法进行证明。第一种方法,令f(1)=(3n+1)×7n-1(n∈N*),(1)f(1)=(3×1+1)×7l-1=27 能被9整除。(2)假设f(k)(n∈N*)能被9整除,所以f(k+1)- f(k)= [(3k+4)×7k+1-1]-[(3k+1)×7k-1]=9(2k+3)×7k。所以,f(k+1)=f(k)+ 9(2k+3)×7k能被9整除。从这两个推理结果可以知道,对一切n∈N*,命题都是成立的。第二种方法,(1)n=1,原式=4×7-1=27可以被9整除(2)若n=k(k≥1,k∈N*),(3k+1)×7*-1可以被9整除,所以n=k+1时,[3(k+1)+1]×7k+1-1=[(3k+1)+3](1+6)×7k-1=(3k+1)×7k-1+(3k+1)×6×7k +21×7k=[(3k+1)×7k-1]+18k×7k +27×7k。所以,n=k+1时也可以整除。从我们的计算中国可以得出,对任何n∈N*,(3n+1)×7n-1可以被9整除。通过利用数学归纳法进行证明整除性问题,我们要进行凑项,通过增加项与减少项、拆分项和因式分解等方式去拼凑出n=k的项,从而利用数学归纳法进行题目的计算,使设想得到证明。通过在数列中运用数学归纳法,可以加深印象,了解数学的本质。

(二)数学归纳法在不等式中的应用

三、结语

综上所述,数学归纳法不仅是数学证明题中的解决方法,还是掌握数学原理和数学规律的重要方法。教师通过数学归纳法进行教学,可以引导学生深入了解数学本质的问题,从根部掌握数学知识,提高自身解决问题的能力。同时教师应该对数学归纳法进行研究,分析总结出适合利用数学归纳法的题型,探究数学归纳法的本质,让学生能够更好地掌握数学归纳法,高效率地解决数学问题。

参考文献

[1]淮旭鸽,邓仕超,李彩林,王伟强,庄未,黄用华.数学归纳法在平面机构自由度公式中的应用[J].智库时代,2018(40):111-113.

[2]甘志国.数学归纳法的一个应用——探究“用天平找次品”的一般规律[J].中学数学研究(华南师范大学版),2013(09):37-38.

[3]张鸿超.浅析数学方法在中学数学解题过程中的应用[J].阴山学刊(自然科学版),2014,28(01):95-98.

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