不完全数据可靠性评估和寿命预测方法

傅惠民， 孙 丁

（北京航空航天大学 小样本技术研究中心， 北京 100191）

0 引言

工程上经常遇到不完全数据， 机电产品外场使用中得到的寿命数据绝大多数属于随机截尾的不完全数据。如何对这类数据进行高置信度的可靠性评估和寿命预测，是工程上亟待解决的难题。 目前，主要采用极大似然方法对不完全数据进行统计分析[1，2]，但是无法进行高置信度的可靠性评估和寿命预测。 文献[3]建立了无失效数据的可靠性评估和寿命预测方法，文献[4]在形状参数下限已知的情况下给出了Weibull 分布极少失效数据的可靠性评估和寿命预测方法。 本文在文献[5]提出的不完全数据秩分布理论基础上， 进一步建立一种随机截尾的不完全数据可靠性评估和寿命预测方法， 成功解决了上述问题。

1 不完全数据可靠度置信下限

1.1 不完全数据的一般形式

在实际工程中，经常遇到表2 所示的不完全数据，即随机截尾的不完全数据， 其特点是失效数据和中止数据交叉分布。

1.2 失效数据可靠度单侧置信下限

设不完全数据来自分布F（t），则ti时刻的可靠度为

与完全数据的秩分布不同， 不完全数据秩分布需要考虑每个中止数据继续进行试验后的所有情况。 h（j+1）kr表示对于第i=nj+k 个失效数据， 如果在它之前的中止数据对应的试件继续试验，有且仅有r 个试件在ti前失效这一情况所占的比例。

由于H（RL，i）严格单调递减，且可靠度单侧置信下限RL，i位于区间[0，1]内，所以式（4）可以方便地通过二分法求解。

同理，若将式（4）中置信度改为1-γ，即可求得Ri的置信度为γ 的单侧置信上限RU，i。

对于不完全数据中的中止数据可靠度单侧置信下限也可类似计算[5]。

根据式（4）可以求得不完全数据中每一个失效数据ti对应的置信度为γ 的可靠度单侧置信下限RL，i，i=1，2，…，nq，并列于表1。

表1 不完全数据中失效数据及其可靠度置信下限

对表1 中寿命及其可靠度置信下限数据进行拟合，即可得到其置信限曲线。

2 两参数Weibull 分布不完全数据可靠性评估和寿命预测方法

设寿命t 服从两参数Weibull 分布：

式中α 为形状参数，β 为尺度参数。

2.1 两参数Weibull 分布的置信限曲线

对于式（1）给出的来自分布F（t）的一组不完全数据，表1给出了其失效数据ti对应的置信度为γ 的可靠度单侧置信下限RL，i，i=1，2，…，nq。 研究表明工程上许多情况，其可靠度单侧置信下限RL（t）与寿命t 之间关系可用下式描述式中x=lnt，y=lnln[1/RL（t）]。 若式（1）给出的不完全数据来自两参数Weibull 分布，则采用最小二乘法对表1 中数据进行拟合，分别求得αγ和βγ为

用于评估式（11）与表1 中数据拟合程度的线性相关系数为

2.2 两参数Weibull 分布的可靠性评估

根据上面的置信限曲线RL（t），可以求得给定时刻t处可靠度R（t）的置信度为γ 的单侧置信下限为

2.3 两参数Weibull 分布的寿命预测

同样根据置信限曲线RL（t），可以求得给定可靠度R时，置信度为γ 的可靠寿命tR的单侧置信下限为

3 三参数Weibull 分布不完全数据可靠性评估和寿命预测方法

设寿命t 服从三参数Weibull 分布：

式中α 为形状参数，β 为尺度参数，ε 为位置参数。 判断式（1）给出的不完全数据是来自两参数Weibull 分布还是三参数Weibull 分布，可令表1 中的γ=0.5，再通过下面的方法求得ε 的估计值ε0.5，若ε0.5＝0，则为两参数Weibull 分布，否则为三参数Weibull 分布。

3.1 三参数Weibull 分布的置信限曲线

研究表明，若式（1）给出的不完全数据来自三参数Weibull 分布，则其可靠度单侧置信下限RL（t）与寿命t之 间关系仍可用式（11）描述，此时式中x=ln（t-εγ），y=lnln[1/RL（t）]。 同样，采用最小二乘法对表1 中数据进行拟合，得到αγ和βγ仍分别由式（12）和式（13）给出，并通过使其线性相关系数rγ的绝对值最大，推导出εγ的计算公式为[6]

3.2 三参数Weibull 分布的可靠性评估

根据上面的置信限曲线RL（t），可以求得给定时刻t处可靠度R（t）的置信度为γ 的单侧置信下限为

即满足式（23）。

3.3 三参数Weibull 分布的寿命预测

同样根据置信限曲线RL（t），可以求得给定可靠度R时，置信度为γ 的可靠寿命tR的单侧置信下限为

此时满足式（25）。

4 对数正态分布不完全数据可靠性评估和寿命预测方法

设对数寿命x=lgt 服从正态分布，其分布函数为

式中μ 和σ 分别为对数寿命均值和标准差，Φ（·）为标准正态分布函数。

4.1 对数正态分布的置信限曲线

同样工程上许多情况，其可靠度单侧置信下限RL（x）与对数寿命x=lgt 之间关系通常可用下式描述

4.2 对数正态分布的可靠性评估

根据上面的置信限曲线RL（x），可以求得给定时刻x=lgt 处可靠度R（x）的置信度为γ 的单侧置信下限为

4.3 对数正态分布的寿命预测

同样，根据置信限曲线RL（x），可以求得给定可靠度R 时置信度为γ 的可靠寿命xR的单侧置信下限为

此时式（25）成立。

5 算例

表2 给出了某型发动机叶片寿命试验数据[7]，从中可以看到它们为随机截尾的不完全数据， 该叶片寿命服从Weibull 分布。 下面采用本文方法对其进行高置信度的可靠寿命预测。 首先根据本文1.2 节方法，求得表2 中每一个失效数据ti对应的置信度γ=0.90 的可靠度单侧置信下限RL，i，亦列于表2。 再根据本文第3 节方法，求得γ=0.50时，ε0.5＝6489， 由此可知该组不完全数据来自三参数Weibull 分布。 然后求得其置信度γ=0.90 的可靠寿命单侧置信下限曲线为

表2 某型发动机叶片寿命试验数据及其可靠度置信下限

6 结论

针对工程上常见的随机截尾的不完全数据， 本文给出了不完全数据中失效数据的可靠度置信下限计算公式， 建立了可以对其进行高置信度可靠性评估和寿命预测的方法。

对工程上常用的两参数Weibull 分布、三参数Weibull分布和对数正态分布进行了详细讨论， 给出了其高置信度、高可靠度的不完全数据置信下限曲线，建立了不完全数据可靠性评估和寿命预测公式。

对于任意连续分布的情况， 可先由本文方法求得不完全数据中每一个失效数据对应的可靠度单侧置信下限，然后采用文献[6]方法得到其置信限曲线，再进行可靠性评估和寿命预测。