例谈中考数学中的折叠问题

摘 要 图形中的折叠问题是近几年中考数学中每年必考的热点问题之一，折叠问题的对象主要是正方形、矩形、直角三角形等，考察问题以求折点位置、求折线长、求重叠面积、求角度等为主。本文试图结合实例谈谈中考数学中的折叠问题。

关键词 对称轴 折叠问题 中考数学

中图分类号：G633.6文献标识码：A

折叠问题主要是考察中考数学中的轴对称性质，其折线是对称轴，折线两边对应图形全等，并且对应点的连线被对称轴所垂直平分，对应边平行或其延长线的交点在对称轴上。折叠问题的题型变化多样，一般地，从考察学生的空间想象能力与动手操作能力的实践操作题，到直接运用折叠问题的相关性质的证明计算题，发展到基于折叠问题的综合应用题，乃至压轴题。考察的目的日渐明确，主要是想考察学生的“四基”、“四能”中的空间想象能力和分析问题、解决问题的能力，所以分析总结中考数学中的折叠问题很有必要。

1利用折叠问题求折点位置

例1：在平面直角坐标系XOY中，点A在OX正半轴上，点B在OY正半轴上，∠AOB = 90埃琌A = 2，OB = 4，将该纸片OAB沿折痕EF折叠，使得点A与点B重合，设折痕EF交OB于F，交AB于E，试求点F的坐标。（湖南长沙中考题）

分析：充分利用折叠问题中对应点的连线段被折痕所垂直平分这一性质，可得BE=AE，BF=AF，然后利用勾股定理可得OF的长度，从而求出F的坐标。

解：连接AF，设OF=x，则有BF=AF=4Hax，于是在Rt%=OAF中，由勾股定理得

x2 + 22 = （4 Ha x）2，解得x = ，从而有F点的坐标为（0，）

2利用折叠问题求折线长

例2：如图，在矩形纸片ABCD中，AB = 4，AD = 3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，点A对应BD上的点E，求EG的长为多少？（湖北荆州中考题）

分析：利用折叠问题中的折线两边对应的图形全等这一性质将所要求的边长转化在同一个直角三角形中，再利用勾股定理即可求出需要求的折线长。

解：设AG = x，则利用折叠的性质可知GE = x，DE = 3并且有GB = 4Ha x，又因为AB = 4，AD = 3，所以BD = 5，BE = 5 Ha 3 = 2，那么在Rt%=BGE中，由勾股定理有x2 + 22 = （4 Ha x）2，解得x = ，于是有EG = 。

3利用折叠问题求重叠面积

例3：如图，在矩形纸片ABCD中，AB = 4，AD = 2，将矩形纸片沿折痕EF折叠，使得点A与点C重合，求它们重叠部分三角形ECF的面积是多少？（山东淄博中考题）

分析：要求图中重叠部分即三角形ECF的面积是多少，因为其高为2，所以即要求出其底边FC即可，根据折叠的性质知四边形AEFD与四边形CEFG关于折痕EF对称，所以它们全等，于是有DF = GF，AD = CG，再利用勾股定理即可求出FC的长度。

解：DF = x，则有FG = x，FC =4 Ha x，GC = AD = 2，∠G=∠D = 90埃栽赗t%=GCF中，由勾股定理可得x2 + 22 = （4 Ha x）2，解得x = ，所以FC =4 Ha x =

故重叠部分三角形ECF的面积 =   2  2= .

4利用折叠问题求其角度

例4、在直角三角形ABC中，∠ACB = 90埃螦 = 50埃珼为斜边AB上一点，沿CD折叠，使得点A落在边CB上的点E处，折痕为CD，则∠EDB = ？（浙江紹兴中考题）

分析：由折叠图形的性质可知三角形ACD与三角形ECD关于折痕CD所在的直线成轴对称图形，所以∠DEC = ∠A，进而转化为三角形BDE的角的关系问题。

5结语

从以上中考数学的实例可以看出，图形中的折叠问题实际上就是利用折叠的性质将相应的边、角转化在同一个三角形中，由于折叠问题的对象主要是正方形、矩形和直角三角形，所以转化的这些边、角往往是在一个直角三角形中，然后再利用勾股定理，即可求得所要求的边长、折点的坐标、三角形的周长、角或者面积等等。事实上，折叠问题还有很多在相似图形中的应用，这也是利用折叠图形对应边平行或者是对应边的延长线的交点在其对称轴上，总之折叠问题主要是要充分利用其性质，运用“转化与化归”的思想进行合理的转化，然后就可使得所要求的问题迎韧而解。

作者简介：胡益（1968.6-）女，汉，湖北武汉，本科，中学高级，研究方向：中学数学。