活用表征方式，助力知识“消化”

周春芝

【摘要】根据学生的特点和知识对象不同的特点，灵活选用不同的表征方式，有助于学生对知识的理解和掌握、发展学生的数学思维、提升学生的数学素养。

【關键词】实物表征 动作表征 图形表征 符号表征

表征是知识在个体心理的反映和存在方式。按知识的种类及其提取方式，心理学家认为人类至少有四种类型的心理表征：认知地图、心像、图式和心理语言。而布鲁纳从思维发展的角度认为，数学对象的表征有三种：动作表征、表象表征和符号表征。即人类通过动作、表象及符号来认识数学对象，人类的认知发展是沿着这三种表征的顺序前进的。莱什从交流、认知的作用出发，在布鲁纳的表征系统的基础上增加了口语和实物情境两种表征。

在平时的教学过程中，教师根据学生的年龄、生理、学习习惯、兴趣爱好等特点，灵活选择恰当的表征手段或方式，有助于学生知识的自我建构，深化对概念的理解，形成知识网络化和系统化，对提升学生的数学核心素养大有裨益。笔者结合平时教学实践，谈点个人体会。

一、运用实物情境表征，激发兴趣，形成表象

小学阶段的学生，特别是低年段的学生对具象的实物和图片以及教师所创设的与自身联系紧密的教学情境特别感兴趣。学生往往不由自主地徜徉其中，积极主动参与到各种数学活动中，并在不知不觉中获得相关对象的知觉，形成初步的表象。教师作为教学活动的组织者和设计者，一定要站在儿童的立场来开发课程，基于儿童视角来创设有趣生动的同时又富有“数学味”的教学情境，来引导学生深度参与到探究活动中。例如，在教学苏教版数学一年级上册“认识图形”时，教师让学生从家里带来各种各样的积木、玩具等常见物品，课始教师不急于让学生认识哪些物体是长方体，哪些是正方体，哪些是圆柱，哪些是球。首先让学生玩2～3分钟，可以尽情摆弄自己带来的学具，了解不同物体的特性。然后让学生在观察的基础上分一分，哪些学具的外形差不多，把差不多的学具放在一起，再在刚才分类、观察、总结的基础上揭示长方体、正方体、圆柱和球。如果不让学生动手摆弄自己带来的这些“新奇”的学具，显然不能尽兴。即使教师课件做得再精彩都不能把学生的注意力集中起来。一开始的玩学具看似浪费时间，其实学生摆弄的过程就是对各种物体外形的感知过程。也许这样的感知结果是肤浅、零碎、模糊的，但是学生在多次接触到有相同外形特征物体的时候，已经在初步感知的基础上有了一定的概括和抽象。接下来，教师在学生已正确分类并充分感知的基础上出示长方体、正方体、圆柱和球等立体图形。这时学生的头脑中已经形成具有“抽象因子”的表象，即使把牙膏盒从学生的眼前拿走，学生在头脑也能想象出刚才那个长长的、方方的物体的样子。到此，学生已经在形成的表象和生活中具体的实物之间建立起某种必然的联系了。

二、运用动作表征，理解算理，形成算法

说到计算，立马出来枯燥无味、晦涩难懂、索然无趣等刻板印象，课中学生也打不起精神来，尽管教师讲得很辛苦，可是一到练习的时候学生的计算错误就会五花八门。让儿童在“做中学”是破解计算教学的有效办法，著名教育家苏霍姆林斯基说：“儿童的智慧在他的手指尖上。”小学阶段学生的思维以直观形象思维为主，一、二年级的学生在学习新知识时必须借助动作思维才能完成对新知的理解和建构。所以在平时的教学中，必须遵循“感性→理性→运用”的这一辩证过程，让学生在过程中感悟新知，建立直观表象。例如，一年级下册“100以内退位减法”是后续减法计算的基础，同时也是计算教学的难点，此知识点中起到承上启下的作用。教师在教学“50-6”时，首先让学生先摆出5捆小棒，然后结合算式的意义从中拿走6根小棒。学生先自主操作小棒，然后同桌交流自己取小棒的过程。学生发现没有单根的小棒，就拆开一捆小棒，然后拿走其中6根，还剩下4捆带4根，所以50-6=44。接着又让学生在计数器上拨珠表示50-6，学生先在十位拨5颗珠子表示50，然后从个位拨去6颗珠子。个位上没有珠子就先在十位拨去一个珠子，退给个位，再在个位上拨出10颗珠子，最后从中去掉6颗珠子，剩下的珠子也表示44。学生在完成上述操作过程后，再结合竖式理解个位上是0不够减6，从十位退1当10时，就想起把一捆小棒解开换成10根小棒和从计数器十位上拨去一颗珠子，再从个位上拨出10颗珠子的过程，情景及时再现。“退一当十”的算理在学生解整捆小棒和拨计数器的过程中完成理解和深化，同时学生在取小棒和拨珠子的操作中形成相同数位对齐的计算法则。有了动作思维的支撑，学生完成了对算理的感悟和算法的掌握。

三、运用图形表征，数形结合，形成推理

数形结合以数和形这两类数学基础符号为研究对象。教师在教学过程中指导学生将二者进行有机结合来寻找解题突破口。形象化理解知识，既帮助学生掌握解题方法，又在无形中启发了学生的符号意识。因此，教师通过数形结合来渗透符号思想，将数学教材上需要学生抽象理解的数字语言、数量关系、几何图形与位置联系，通过“以形助数”或“以数解形”的方式将其形象化、简单化、具体化，以此来调动学生的解题兴趣，活跃思维，加深学生对符号的理解。例如，计算“整数除以分数4÷”，让学生用画图的方式解释得数是12。学生先画了4个圆表示4个饼，然后把每个圆平均分成3份，每人分块，这样1个饼可以分给3个人，4个饼就可以有4个3，所以4÷=4×3=12。接着教师让学生运用已经积累的学习经验来自主探索4÷、3÷……学生都能用图形解释分数除法和乘法之间可以相互转化，在计算相应的分数除法的时候我们都可以把相似类型的分数除法转化成相应的乘法来计算，把没有学过的知识转化成学过的知识，培养了学生推理意识的同时，再次体验了转化的思想在探究新知中的神奇“功效”。

四、运用符号表征，抽象概括，形成模型

语言学家皮埃尔吉罗说：“我们是生活在符号之间。” 《义务教育数学课程标准（2011年版）》也提出，培养学生符号意识，要使学生学会利用数学符号进行计算与推理，也就是说，培养学生数学符号意识的一个重要任务就是教会学生利用数学符号思考问题，即培养学生的符号思维能力。为此，教师可以在教学中训练学生的符号思维，引导他们利用数学符号进行推理与思考，用符号表示发现的规律，概括规律并选择适当的形式表示出来。形成数学模型，培养模型思想。

例如，在教学五年级下册“加法交换律”时，教师先引入“朝三暮四”的故事，然后让学生根据情境独立列式28+17和17+28，通过计算得出“28+17=17+28”的结论，并据此观察等式两边算式的特点，发现两个加数一样，不同之处就是交换了两个加数的位置。接着再让学生写几道类似的式子，发现都存在同样的规律和现象。当学生找不出反例时，学生这时发现运用举例的方式不能简洁表达出这样的规律和现象，这时学生想到用不同的图形指代两个加数，表示成“□+△=△+□”，还有学生用“甲数+乙数=乙数+甲数”的形式表达，也有学生想到用不同的字母“a+b=b+a”表示。最后学生再把符号内化成语言，用语义表征加法的交换律。学生用符号表示规律的过程，就是经历从把一类对象里的规律，由表及里，由浅入深，由特殊到一般，由具体到抽象地表示出来的过程，学生的数学思维就能得到有效的锻炼和提高。

同时，教师还应该意识到综合运用多种表征方式，加强图形、文字和符号之间的互相转译，使学生灵活掌握不同的表征方式，多维度实现对数学对象的充分认知。教师需要创设相应的平台，搭建合适的“脚手架”，多渠道引导学生选用合适的表征方式来自主架构知识框，完善自己的知识体系，不断提升自身的核心素养。