问题教学在导数概念中的应用

王剑 张康明 谢焕钢 许宗文

摘要：高等数学作为一门非常重要的基础课程：既为后续专业课程提供基础和方法，也在学生能力素养的培养方面起到重要作用。为了学生高效的掌握高等数学的“基本概念、基本定理和基本方法”，以及培养学生抽象概括、空间想象和逻辑推理能力，在当今教育背景下，改革高等数学教法是必要的。问题教学将教学内容问题化，以问题为主线，由问题调动学生的主观能动性、提高学习效率。本文以“导数概念”为例，实践问题教学，从课中学生的学习状态、效率和课后的反馈来看取得了較好教学效果。

关键词：问题教学;高等数学;导数概念;教育教学

中图分类号：G633.62     文献标识码：A

0引言

高等数学课程是围绕“基本概念、基本定理和基本方法”而开展。导数的概念在高等数学是重要的基本概念之一，从知识角度看：起到承上启下作用，完善了学生对高中导数概念的理解，在数学物理背景下是对一类特殊极限（增量比极限）新的命名，也是今后学习微分和积分理论基础;从能力角度看：引导学生主动、独立思考，在运用数学知识和方法解决问题的过程中，探索规律、总结规律，领悟用导数刻画变化率的思想，认识数学的价值。在传统的教法学法中，教师以演绎模式讲解导数的概念，教师按部就班，课本上有什么就讲什么，学生是教师讲什么就听什么，教学过程教师和学生都是为了完成教和学的任务而展开，采用问题教学，过程中以问题为牵引，将导数的概念数学物理背景下问题化，立足于学生现实基础，教师力图运用“未先知”，与学生一起商讨、研究，发扬民主，充分调动积极性。

1问题教学导数概念中应用的理论依据

在导数概念中实践问题教学的理论依据主要是分析教学目标、学情分析及重难点所得出。教学目的：学生理解导数的概念及其几何意义，掌握求平面曲线的切线和法线方程的方法，理解函数可导性与连续性的关系，了解导数作为函数变化率的实际意义，会用导数表达科学技术中一些量的变化率。学情分析：通过高中阶段导数知识的学习，学生对导数的概念有了一定的基础，经过前面极限和函数连续性概念的学习，学生能够运用数学思维分析问题，探索数学规律，并能够对共性问题归纳出结论。但部分学生由于基础的原因对引例中的速度和切线概念比较模糊，不利于对问题的分析，对“”型的极限方法掌握的不够全面，影响利用定义求导数。导数的概念重点：理解导数的概念及其几何意义，掌握求平面曲线的切线和法线方程的方法;难点：理解函数可导性与连续性的关系。

2问题教学在导数概念教学过程中设计

问题教学从教师角度来看是一种教学方式，从学生角度来看是一种学习方式。通过问题的不断解决和不断提出，学生即掌握了知识，也理解所学知识与其他知识或生活的内在关系，最终培养了学生应用意识和创新能力。问题教学的课堂教学设计：创设情境、引出问题分析问题解决问题深化问题，学生的思维相互交融呈螺旋状态上升。可采用围绕创设情境（引出新问题）分析问题（思考讨论）解决问题（引出新问题1）分析新问题1（思考讨论）解决新问题1（引出新问题2）解决新问题2（引出新问题3）分析新问题3（思考、讨论 ）……解决新问题总结应用（解决问题）。

2.1创设情境、引出问题

问题教学关键在于贴近军事，引出“好问题、好情境”，好的问题、情境可以引起学生的好奇心，活跃了学生的思维，调动主观能动性。教师在导数概念的教学中是通过学生在“5公里”训练时，怎样了解自身的瞬时速度和爆发力？学生通过回顾、思考、分析和讨论，爆发力与加速度的关系，要解决以上问题，必需量化问题，在教师的引导下如何定量爆发力，并建立简单的模型：通过测试员采集的数据，利用数学MATLAB软件，拟合出学生“5公里”时间和路程关系为。求时刻的瞬时速度和加速度？

教师分析引例，提出问题：怎样通过过程的平均速度，利用极限的思想去求时刻的瞬时速度？类似方法求时刻的加速度。鼓励学生思考、提问，用数学语言解决问题。教师引导学生瞬时速度与平均速度概念，过程的平均速度当时的平均速度定义成时刻的瞬时速度，现在问题就转化为求时的平均速度。学生讨论会联想到什么知识点（训练学生应用数学解决实际问题），并用数学语言刻画结果（培养学生严谨的数学思想），

即，

总结思考：

一类比较特殊的极限

2.2从数学角度，引出新概念

引导学生去除以上引例物理意义，单独从数学角度定义，得出结论：一类特殊的极限。即引入导数的概念。

定义设函数在点的某领域内有定义，如果当时，变量与自变量之比的极限存在，

即   ，

则称为在处的导数，或者称函数在处可导。

记为，或，或，或。

2.3教师分析、总结问题和转化新问题，学生参与问题讨论

关于导数概念的几个常见的问题，学生在发现、分析和解决问题过程中加深对导数的理解。

问题1：实际应用：教师提问在所学学科哪些量是用导数刻画？导数是指函数的瞬时变化率问题，反应的是因变量随自变量变化的快慢程度，即为增量比的极限问题。角速度是转角的该变量与时间该变量之比的极限，密度是质量的该变量与体积该变量之比的极限，电流的强度是电量该变量与时间该变量之比的极限等等。

问题2：回归课本：导数定义有哪些变化形式，在解题过程中注意变通处理。如

实践应用，回归课本：例如高等数学同济第七版教材122页总习题二的第3题。

A项;表示单侧极限;

B和C项：由导数定义，分子必须是对应于自变量的函数改变量，而B和C项中分子上函数两点的差值与函数在点的函数值没有关系，即使计算出极限值，也不一定是在点的导数，如函数

可以计算出极限值，但由于函数在点处不连续，故不可导。

D项：成立。

问题3：类比产生问题  类比极限存在充要条件，导数是否也是有充要条件？回顾极限存在的充要条件（左右极限存在且相等），引导学生从导数的本质（一类特殊的极限）分析函数可导的充要条件。

当时，有，由极限存在的充分必要条件可知，函数的左、右极限都存在且相等，亦即在处可导的充分必要条件是

左导数存在，且值为，

右导数存在，且值为。

在可导左导数和右导数，都存在且相等。

以问题为导向，引出内容。左导数、右导数统称为单侧导数，多用于求解分段函数的导数问题。

但需要注意的是，当左右导数都存在，但时，导数不存在。如函数在处的左导数，右导数，但两者不相等，故在处不可导。

（1）关于函数在区间上的导数几个问题。

在结束了函数在点的可导性问题讨论，类比函数在讨论了在点的连续，接着是讨论了在区间的连续性，那么函数在有限区间可导性是怎样的？（可由学生先类比总结，教师在完善。）

①若函数在开区间上可导，则函数在上可导，从而对，为一个映射，再有极限的唯一性可知，是关于的一个函数，称之为导函数。

② 若函数在闭区间上可导，则可得

。

2.4问题验证高中结论，问题应用、解决质疑，教学内容问题化

高中对极限理解不透侧，大多数学生对 “导数是斜率”问题是知其能，而不知其所以能。用数学语言可定量的描述为已知曲线函数，求在点处的切线。

首先要先明确什么是切线？回顾初高中所学平面解析几何中，圆的切线定义为“与曲线只有一个交点的直线”，但扩展开来，对所有曲线而言此定义显然不妥，比如抛物线，轴与轴都与抛物线有1个交点，但显然轴不是抛物线的切线。那么什么是曲线的切线呢？

曲线上有一点，在外另取曲线上一点，当点沿曲线无限趋近于时，割线绕点旋转而趋近于极限位置，即观察割线倾斜角由逐渐趋向于，故有，当时，，假设极限存在，则用此定义曲线在点的切线斜率为：

。

通过引例问题的研究，总结教学内容导数的几何意义：函数在点处的导数，几何上表示为曲線在点处的切线的斜率，即。

2.5由问题产生新知识，真题演练

根据导数的几何意义并应用直线的点斜式方程，知曲线在点处的切线方程为;

法线斜率为：，

法线方程为：

例如：高等数学同济第七版教材中例8，求双边曲线在点处的切线的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程。

分析根据题意，要求曲线上某点处的切线斜率，按照导数的概念，求出在该点处的导数即可，即斜率为

，

从而可求出切线方程，化简得;由于法线斜率为切线斜率的负倒数，则，从而求得法线方程为，化简得。

2.6类比产生问题，总结结论

回顾极限与连续的关系，产生新问题“连续与可导的关系是怎样？”

解决问题的方法：假设推理。

函数在点处可导，即有，则根据无穷小定义可知：当时，（为时的无穷小）

即，

从而，函数在点处可导，必有函数在点处连续。

但反之，则不一定，如函数（即）在区间上连续，但在在处不可导。再如在区间上连续，但在在处不可导。

函数可导性与连续性得关系为：可导一定连续，连续不一定可导。

3总结与思考

问题教学在导数概念中的应用通过研究求变速直线运动速度的物理问题和求切线斜率的几何问题，发现其在数学结构和空间形式上具有共性，可转化为求函数在某点变化率的极限来解决问题，从而归纳总结出导数的定义，将实际问题转变为求导问题，在课堂上并对导数的定义所涉及的问题进行注释说明，从而加深学生对导数概念的理解与把握。

问题教学的教育教学功要真正有效的显现出来，需要教师潜心教研、学生热情的参与，相对于普通高校、学生与教师，军校特殊性使得问题教学的研究和教学会更加的任重道远。

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