有心圆锥曲线的焦点三角形性质及解题策略
2020-10-09张吉华
张吉华
摘要：众所周知，圆锥曲线是高中学习的重点内容，也是难点内容之一，而有心圆锥曲线的焦点三角形又是设计考题的热点知识，于是弄清焦点三角形的性质和解题策略就显得非常必要. 以下就作者结合教学经验，列举一些焦点三角形的基础性质和拓展性质，并举例说明这类问题的一般解题策略，供大家参考。
关键词：有心圆锥曲线;焦点三角形;性质;策略
中图分类号：G633.65 文献标识码：A
定义：在有心圆锥曲线上，焦点所在直线上的顶点除外的任意一点P和两个焦点F1，F2构成的△PF1F2称为有心圆锥曲线的焦点三角形，简称焦点三角形。
为研究方便，以下在没有特指的前提下，有心圆锥曲线均是焦点在x轴上，中心在原点的标准曲线，即：椭圆方程为，双曲线方程为，其中点P坐标为（x0，y0），焦距| F1F2|=2c，离心率为e，焦参数（焦点到相应准线的距离）为p，∠F1PF2=，∠PF1F2=，∠PF2 F1=。
1焦点三角形的基础性质
2焦点三角形的拓展性质
下面以椭圆为例对拓展性质加以证明。
证明：由椭圆第二定义得，∴ ，同理可得 。
由三角形余弦定理得 = ┄┄①，由椭圆定义得，两边平方得=4a2┄┄②，②-①得
2| PF1| | PF2|（1+ cos）=4（a2-c2）=4b2，
∴。
∴
由三角形正弦定理得，
∴，即，
∴
，
∴。
要证明椭圆的光学性质，只要证明直线PF1和PF2关于点P所在的切线对称即可。
椭圆方程化为，两边对x求导，化简得，∴切线的斜率，直线PF1、PF2的斜率分别为、，设从直线PF1到切线的角为，则，结合，化简得。同理，设从切线到直线PF2的角为，则。这就证明了直线PF1和PF2关于点P所在的切线对称，即椭圆的光学性质得证。
至于双曲线的拓展性质，依样可证，这里就不再详述。
3焦点三角形的解题策略
在解决有心圆锥曲线的焦点三角形问题时，通常用到基础性质就可以，但必要时能用拓展性质会显得更加快捷，以下举例说明：
例1：已知F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为1的正三角形，求b的值。
策略1：利用点P坐标代入椭圆方程求解，简称坐标代入法。
由△POF2是面积为1先求出c= |OF2|=和点P坐标（，），把P坐标代入椭圆方程，结合，解方程组便可求出b的值。
策略2：利用椭圆第一定义求解a，简称定义法。
同样先求出c后，在△POF1中通过三角形余弦定理求出|PF1|，再利用椭圆定义求2a=|PF1|+|PF2|，最后由求出b的值。
策略3：利用拓展性质求解，簡称拓展法。
由|OF1|=|OF2|=|OP|得△PF1F2是∠F1PF2为直角的直角三角形，△PF1F2的面积是△POF2是面积的2倍，即：，由拓展性质得，，∴b=。
显然，策略1的坐标代入法计算量大，通过解方程组，相对繁琐;策略2的定义法计算有所简化;策略3的拓展法非常简便，口算就能得出答案。
例2：（2020届江西省红色七校高三年级第一次联考（理）16题）双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，点P在C上，且，O为坐标原点，则|OP|= 。
策略1（坐标代入法）：设P点坐标（x0，y0），先求出PF1和PF2的斜率和，由到角公式建立一个方程，与点P坐标代入双曲线方程得到的方程联立，通过解方程组得出x0，y0，再去求|OP|的值。
策略2（定义法）：先由已知求出的值，设|PF1|=m，|OF2|=n，在焦点三角形中，由余弦定理列出一个关于m，n的方程，再由双曲线定义列出另一个关于m，n的方程，联立求出m，n.再利用托莱梅定理（平行四边形对角线的平方和等于各边平方和）求出|OP|。
策略3（拓展法）：由已知可求出，利用拓展公式求面积，继而求出的高，即点P纵坐标，并代入双曲线方程求横坐标，最后求出|OP|=。
策略1的计算非常麻烦，策略2会好一些，但比起策略3还是比较琐碎。
例3：（2016年高考全国卷Ⅱ（理）11题）已知F1，F2是双曲线E：的左右焦点， 点M在E上，M F1与x轴垂直，，则E的离心率为（ ）A. B. C. D. 2
策略1：由得，∴中，，于是可得到点M的坐标（），代入双曲线方程便能求出离心率。
策略2：同上先求出，并求出，由双曲线定义得，最后可求离心率。
策略3：由拓展公式，其中，，于是很容易求得，∴。
本例说明定义法比坐标代入法简单，拓展法又比定义法简便。
综上所述，在解决有心圆锥曲线的焦点三角形△PF1F2问题时，通常有三种解题策略。问题如果涉及焦点三角形的顶点P坐标时可用策略1——坐标代入法，否则可设出焦点三角形的两边|PF1|=m，|PF2|=n，利用三角形余弦定理和曲线第一定义列式求解，即策略2——定义法，当问题涉及焦点三角形的拓展性质时，用策略3——拓展法解题会显得更加简便、快捷。
