工程力学专业线性代数课程的4C/ID模式教学设计探索

许孟辉 王新新

[摘 要] 四要素教学设计（4C/ID）模式可有效提高复杂学习任务学习效率与效果。针对工程力学专业线性代数课程内容相对抽象、纵横交错、演绎教学的特点，探索性地建立了4C/ID教学设计架构，该架构有助于再现科学探索与发现的过程，实现教学从“演绎”到“连贯性直觉”的转变，为工程力学专业的线性代数教学提供一种可行的参考。

[关键词] 4C/ID模式;工程力学专业;线性代数;教学设计;复杂学习

[基金项目] 国家自然科学基金青年项目“多源不确定性环境下动载荷识别的非侵入型非概率方法”（11802148）

[作者简介] 许孟辉（1986—），男，浙江宁波人，工学博士，副教授，硕士生导师，主要从事高等教育教学改革、力学反问题等研究;王新新（1987—），女，浙江宁波人，高等教育学硕士，主要从事高等教育学研究。

[中圖分类号] G642.0    [文献标识码] A    [文章编号] 1674-9324（2020）36-0288-03    [收稿日期] 2019-09-16

力学与数学是唇齿相依的依赖关系，数学理论的发展有利于力学领域部分问题的成功解决，力学领域新问题的涌现反哺数学家有意义有价值的研究方向或问题。正是源于二者密不可分的相互联系，相关数学基础课程的学习对掌握力学理论、实现理论应用是不可缺少的。其中，线性代数课程是工程力学专业必备的数学基础之一，它对本科生抽象逻辑思维能力的培养十分关键。正如钱学森先生对力学技术科学的定位，力学发展要把握抽象思维与应用思维之间的平衡，既要避免失去物理性的抽象，又要防止力学的纯实用主义。从这个方面讲，工程力学专业线性代数课程的教学定位应着眼于如何处理实用性和思维训练二者之间的关系[1]，且从服从国家创新驱动发展战略看，尤其不能忽略思维训练。

工程力学专业线性代数课程的基本内容大致定型，主要包括行列式、矩阵、向量空间、线性方程组、特征值与特征向量等。这门课程具有如下特点：各部分内容呈块状分布，看似彼此独立却纵横交错形成网状，导致源头不清晰、主线不突出、任务不明确;多数概念、定义与理论较为抽象，学生难以理解相关内涵与合理性，如为什么会形成行列式、矩阵乘法源自何处，学生对纯理论学习兴趣不高，影响学生学习积极性;课程设计脱离专业背景，教学思维以演绎传授（定义性质与定理运算方法与技巧简单数学示例）为主，忽略现象直奔本质，对学生应用数学知识解决专业问题的能力未进行有效训练，不利于学生创新精神和创造思维能力的培养。由于线性代数课程对工程力学专业有着举足轻重的作用，在诸多专业课中都需要用到线性代数的相关知识，如时间/空间离散数值计算方法所诱导的线性方程组问题、结构动力学分析所诱导的特征值问题。因此，为了培养和提高工程力学专业本科生利用线性代数相关知识解决后续专业课中实际问题的能力，进一步研究改进线性代数课程教学设计是十分必要的。

一、四要素教学设计（4C/ID）模式

自教学设计学科诞生以来，该领域已经提出诸多传统的教学设计模式，如“肯普模型”“史密斯-雷根模型”等[2，3]。但这些教学设计模型通常将复杂学习任务分解为简单成分以各个击破，缺少重新整合，侧重概念、理论的单向讲授，不适用于学生复杂学习任务的完成。在这样的背景下，荷兰开放大学著名教学设计专家麦利恩伯尔教授等人发展提出了四要素整体性教学设计模式，即Four-Component Instructional Design（4C/ID），这种教学设计模式将整体性学习任务、支持性信息、即时信息、分任务练习四个要素作为训练复杂认知技能、改进业绩表现的主要设计因素[4，5]，运作机制包括以任务为中心的有效性机制、支持性信息的辅助机制、即时信息的运转机制和分任务练习的整合机制[6]。

整体性学习任务是4C/ID的核心设计要素，设计原则侧重具体真实、整体综合、付出必达三个方面，力争使学生在完成过程中能够实现对知识、技能与态度的协调、整合和迁移。根据构成性技能的不同，它可以分为复用技能学习任务和非复用技能学习任务。前者是指在不同层级的整体性学习任务中未发生变化的技能，可以通过反复强化训练达到高度自动化，从而在解决相同情境问题时无须推理与分析，如矩阵乘法规则、矩阵初等变换规则等。非复用技能学习任务在不同层级的整体性学习任务中随着问题情境的不同而发生变化，对学生而言是新异的且需要付出努力才能完成。以任务为中心是4C/ID教学设计过程的起点，相较“以问题为中心”的教学设计目标而言，对提高学习者的学习效果更具优势[6]。

支持性信息主要包括设计支持信息、分析认知策略与分析心智模式，为非复用性学习任务中解决问题和推理分析提供有效指导，协助学生在旧有知识和新学习任务之间奠定认知基础，促进学生认知图式建构过程。支持性信息作为连接新旧知识的重要纽带，是实现学生有效学习的关键环节。

即时信息是分任务练习的先决条件，二者皆服务于复用技能学习任务。即时信息设计的关键是设计认知规则和正确运用这些规则所必备的知识，如简单事实、概念或原理，通常以较小信息单元呈现，促进学生对复用技能学习认知图式的自动化。分任务练习的目的在于不增加学生认知负荷前提下实现复用技能的高度自动化。

二、线性代数课程4C/ID教学设计

目前，国内诸多高校针对线性代数课程已经做了许多有益研究和探索，并获得很多有意义的成果，多数研究着重于应用型工科专业的教学方法改革，如经济管理专业、物理类专业[7]，但教学设计探讨较少且处于探索阶段[3，8]，尤其是工程力学专业线性代数教学设计更未见公开报道。

1.学习任务及分解。如图1所示，线性代数课程的整体性学习任务为线性代数方程组的求解与应用，鉴于学生对旧有知识的连贯性，从学生熟知的概念，如消元法、方阵系数线性方程组切入，即以一元一次、二元二次、三元三次方程（组）为对象引入线性代数领域。非复用技能学习任务依次递进分别设置为方阵系数线性方程组求解、非方阵线性方程组求解、特征值与矩阵对角化，其中方阵系数线性方程组是非方阵线性方程组的特殊情况，并应用于特征值与矩阵对角化。进一步地，在扼要地给定相关知识背景条件下，完成非复用技能拓展学习任务，如结构有限元分析（或Euler方程的差分代微分分析）、主应力/主方向判断、结构动力学分析。复用技能学习任务分解为行列式计算、矩阵运算、伴随矩阵运算、矩阵初等变换、矩阵与向量组秩数判断、线性方程组求解、向量内积运算，并注重内在递进关系，进一步通过分任务练习使得学生高度自动化完成这些任务。

2.支持性信息设计。支持性信息的设计服务于非复用技能学习任务。针对方阵系数线性方程组求解任务，重点完成两种理论方法的推导与学习，即Cramer法则与逆矩阵理论。Cramer法则从一元一次、二元二次、三元三次方程（组）归纳，引入行列式概念与性质;逆矩阵理论从一元一次方程作形式假想，引入矩阵概念与运算规则。以上两种方法分别从标量角度、矩阵角度理解线性方程组。针对非方阵系数线性方程组求解任务，重点学习解存在性定理、向量组线性相关/无关、向量空间。解存在性定理从消元法所蕴含的矩阵行变换结果引入，讲授矩阵秩数的概念与性质;向量线性相关/无关从矩阵行变换所获得的列向量关系引入，讲授向量组秩数及计算;向量空间从线性无关向量组引入并拓展。针对特征值与矩阵对角化任务，重点完成欧氏空间、相似矩阵及矩阵对角化的相关理论推导。

3.即时信息与分任务练习。在相关背景知识引入条件下，即时信息以较小信息单元形式给出，要求学生将其内化为类似“加减乘除”四则运算，用以指导分任务练习，即时信息主要包括行列式性质、逆矩阵性质与矩阵行变换，大幅度地减少学生的认知负荷。为实现复用技能高度自动化，分任务练习主要包括行列式练习、逆矩阵练习、列向量组的极大无关组练习、线性方程组解结构练习、向量空间基底练习。

4.4C/ID模式下的教学思路。传统教学思路因教材内容编写的限制，往往从线性代数分析的源工具（行列式、矩阵）出发，忽略学生对旧有知识连贯性的认知需求，间接导致学生对线性代数课程内容的抵触情绪，学习效率与效果不尽人意。在完成4C/ID教学设计后，教学思路以学习任务为中心指导，从消元法链接引入方阵系数线性方程组的求解新方法，依托这种新方法讲授新概念与新原理、引入新工具（从标量到矩阵），重视抽象逻辑思维能力强化。通过经典力学问题培养学生分析问题、解决问题的能力。进一步可以顺其自然地过渡到非方阵系数线性方程组的求解问题（从矩阵到向量）。特征值与矩阵对角化有明显的力学背景，相关理论可以看作是方阵系数线性方程组的应用推广。值得指出的是，4C/ID教学设计对线性代数讲义或教材編写也可提供指导。

三、结语

4C/ID教学设计模式在国内外高校部分课程教学中正处于探索阶段。针对工程力学专业在抽象逻辑思维与应用思维折中的需求，本文应用4C/ID模式完成线性代数课程整体性教学设计，从学生旧有知识连贯性出发促进其对新学习任务认知图式的建构，所建立的整体性教学设计架构为工程力学专业的线性代数课程教学提供了有意义参考，同时为本专业数学类基础课程教学设计提供了一种思路。

参考文献

[1]邬学军，唐明.线性代数是蓝色的：大学非数学专业线性代数的课程设计[J].大学数学，2008，24（6）：12-16.

[2]J.J.G.Van Merrienboer，M.B.M.De Croock.Performance-based ISD：10 Steps to Complex Learning [J].Performance Improvement，2002，41（7）：33-38.

[3]张琛.基于4C/ID模型的大学电子技术实践课程教学设计[J].理论与探讨，2014，43（9）：96-98.

[4]冯锐，李晓华.教学设计新发展：面向复杂学习的整体性教学设计——荷兰开放大学Jeroen J.G.van Merrienboer教授访谈[J].中国电化教育，2009（2）：1-4.

[5]杨兴波，张林.4C/ID对多媒体课件教学设计的启示 [J].软件导刊（教育技术），2016，15（3）：75-77.

[6]郭瑞.探析4C/ID教学设计模式运作机制及生态型 [J].学周刊，2015（11）：20.

[7]黄美东，王宇飞，刘士余，张禧征，王庆媛.物理类专业线性代数教学方法改进的研究与实践[J].高教学刊，2016（17）：123-124.

[8]曲延华，程立英，张玉梅.基于4C/ID模式的《模拟电子技术》课程教学设计研究[J].沈阳师范大学学报（自然科学版，2014，32（2）：296-299.