研究生专业基础课“矩阵计算”的教学体会与思考

李姣芬 李郴良 周学林

[摘 要] “矩阵计算”既有数学各专业课程中理论上的抽象性和严谨性，又有解决实际问题的实用性和实验性的技术特征方法。通过学习该课程，培养研究生借助计算机解决科学与工程计算领域中出现的数值计算问题能力，使研究生能够比较熟练掌握课程中要求的各种常用算法的原理和构造方法，对培养研究生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力具有不可替代的作用。

[关键词] 矩阵计算;实用算法;研究生专业基础课

[基金项目] 2020年院级研究生课程建设项目“‘矩阵计算课程改革”（2020YJSKCJS04）;2018年校级学位与研究生教育改革项目“研究生数学课程的探究式教学方法研究——以‘偏微分方程数值解为例”（2018XWYJ25）;2018年校级教学改革项目“基于‘六面一体校企协同育人的动态实践教学模式研究与实践”（JGB201849）

[作者简介] 李姣芬（1984—），男，湖南湘潭人，理学博士，硕士研究生导师，桂林电子科技大学数学与计算科学学院教授（通信作者），主要从事数值代数研究;李郴良（1969—），男，湖南邵阳人，理学博士，博士研究生导师，桂林电子科技大学数学与计算科学学院科研副院长，教授，主要从事偏微分方程数值解研究;周学林（1987—），女，广西玉林人，硕士，桂林电子科技大学国际学院助理研究员，主要从事高校实践教学管理模式创新研究。

[中图分类号] G420    [文献标识码] A    [文章编号] 1674-9324（2020）40-0286-03    [收稿日期] 2020-04-13

一、引言

眾所周知，大部分科学与工程计算问题的解决最终都要归结为一个矩阵计算问题，其中最具挑战性的问题是如何高效地进行大规模矩阵计算问题。矩阵计算这门课程的主要任务是如何针对各类科学与工程问题所归纳出的三大基本问题：线性方程组的求解问题、线性最小二乘问题和矩阵特征值问题，设计出相应的快速、可靠、简便的算法。该课程最大的特点在于理论与实践的完美结合，它既包含严谨的数学理论，又具有很强的应用背景。在信息科学和计算机技术飞速发展的今天，矩阵计算这门学科不仅是计算数学专业的一个重要研究分支，而且早已成为现代各科技领域处理大量有限维空间形式与数量关系的强有力工具。因此，对于这门课程的深度学习和应用显得极其重要。围绕该课程开展教学改革，改善传统的课程教学模式，将研究生自主学习和课堂讨论，专业方向专题介绍与讨论等多种教学模式引入课堂等，拓展学生科研视野，培育学生创新能力，让学生尽早进入科研角色等也都是十分必要的。

二、课程教学的体会与思考

就我们学院而言，矩阵计算课程的讲授对象为学院每年研究生招收计划中计算数学专业的研究生，每年约10～15名。受招收研究生数值分析基础普遍较差的限制，我们采用的主讲教材为北京大学数学教学系列丛书《数值线性代数》（第二版，北京大学出版社）[1]，并以中国科学院研究生教学丛书矩阵计算（科学出版社）[2]为辅，讲授课时为48课时。下面结合笔者多年教学经验，从强化研究生专业基础和培养研究生科研创新能力的角度出发，谈几点课程教学中的教会体会和思考[3-5]。

（一）经典算法讲解透彻，先理解算法框架后完善细节推导

在教学过程中我们发现，对经典算法的讲解，若只重视教授理论及计算技巧，课时限制使得课堂变得枯燥无味，也会降低学生的学习积极性。可以先从算法框架入手，先讲解透彻算法框架再完善算法具体细节推导，这样既可以节省讲授课时，也让学生更容易接受。例如在介绍最速下降法和共轭梯度法时，因为其迭代思想跟古典迭代法完全不同，这时可以从优化角度入手，结合盲人下山的简单示意图，讲解如何获得更新迭代步和搜索方向。在理解算法框架后，再详细推导算法中各参数的选取，如步长参数、搜索方向参数等。在讲解特征值问题的带位移的QR算法及双重步位移QR算法时，因该类算法逐个产生近似特征值的加速迭代与之前整体近似迭代思想有所不同，且需要用到的基本知识点和算法工具较多，这时理解位移的加速思想和算法的迭代框架显得尤为重要。理解其迭代框架后，再逐步推导有效位移的选取。又如在讲解共轭梯度法和Krylov子空间方法[6]的联系以及后续进一步讲解Krylov子空间具体方法时，先讲解Krylov子空间方法的分类：正交投影方法，正交化方法，双正交化方法以及法方程组方法等，以及算法的迭代标准（残量正交或残量极小）和迭代机制，不同的迭代机制可以得到不同的Krylov子空间方法。在此框架下再细节推导具体迭代格式。这样可以让学生很清晰地看到各类Krylov子空间方法的差异与联系。

（二）引入学科前沿，拓宽学生视野

在教学中，我们可以适当介绍计算数学学科的前沿知识和发展趋势，同时引入国内外的最新研究成果和学术报告，这样不但可以让学生学到的知识具有学术前瞻性，而且还可以帮助他们开阔思维和拓宽视野。比如，在讲授线性代数方程组的三角分解算法中的Doolittle算法和Crout算法时，可涉及大规模稀疏带状方程组的求解;而在讲授Cholesky算法时，可涉及有限元方法、边界元方法和无网格方法等当前偏微分方程的主流数值解法;在讲授线性方程组的迭代解法时，可以引入求解稀疏线性方程组最流行和最有效的方法——Krylov子空间方法的最新研究进展。另外，笔者多年从事线性和非线性矩阵方程求解理论及算法实现等研究，在讲授线性方程组求解时，可以引入矩阵方程相关问题的最新研究热点和最新算法;张量计算是目前计算数学领域的研究热点，在讲授最小二乘问题理论及算法时，可以引入张量计算处理最佳逼近和最小二乘问题时的经典算法等。

（三）结合教师科研项目，将单向的理论讲授与课堂讨论相结合

在讲授概念、定理及经典算法的教学中，适当地引入教师的科研项目，把教学内容与鲜活的实际科研问题相结合，设计出符合学生特点，且易于被学生接受的案例，从而激发学习兴趣，变被动学习为主动学习。例如教材中最速下降法和共轭梯度法章节内容是从极小化无约束二次泛函的角度出发，进而从优化算法的角度推导出具体迭代格式。结合笔者近年主持的基金项目，可以在课堂上讨论如何极小化含简单约束条件的二次泛函，如何使得更新迭代步满足可行约束条件，进而如何将最速下降法和共轭梯度法应用于求解带约束条件的二次泛函极小化问题，并推广到其他含约束条件的矩阵迹函数极小化问题;在讲解线性最小二乘问题时，可以推广到矩阵最小二乘问题及最佳逼近问题，以及张量计算中的最佳逼近问题等。

（四）在教学中适当地运用多媒体课件

多媒体教学已经成为各种数学课程的重要教学手段。同样在矩阵计算的教学过程中，合理地使用现代教学手段和工具，对每个算法的具体实现以及近似求解过程可以进行现场演示，图文并茂，直观地看到数值结果，从而可以更好地发现算法的优缺点，使得教学内容更加丰富、生动鲜明。例如在讲授最速下降法时，通过多媒体演示可以让学生明确地看到什么是最速下降方向，当增大条件数时，学生就会发现最速下降法的缺点：迭代解呈锯齿状逼近精确解，此时收敛速度极慢。在讲授古典迭代法和对称正定线性方程组的共轭梯度法时，算法的具体实现可以采用Matlab软件进行编程，数值列表显示每步近似解的解分量，多媒体演示剩余范数或解相对误差随迭代步的变化曲线图。对于较大规模的线性方程组，数值比较或验证预处理数值效果时，可以演示不同算法的收敛曲线图，很直观地展示数值比较结果和不同预处理因子的加速效果。在讲解带位移的QR算法时，利用Matlab软件作出几种算法的收敛曲线进行对比分析，验证带Rayleigh商位移的QR算法与带Wilkison位移的QR算法同原算法相比，收敛速度是否有所改善。

（五）围绕教师科研项目布置作业、引导学生进行研究，并考核学生的科研能力

围绕指导老师的科研项目对学生的学术研究能力进行培养和考核，可使学生通过选题、制定研究计划、进行试验、撰写试验报告和研究报告、进行课堂研讨与成果展示等环节，在主讲教师的引导下，完整地经历一次针对某一问题的研究过程。这一过程不仅可以深化专业知识，更重要的是有利于培养学生分析问题、解决问题的能力，使学生能够主动思考，形成对问题的洞察力和判断力，启发原创性思维，为学生今后创造和创新提供良好的基础。

（六）与后续选修课程—新型算法专题—充分衔接，拓展知识面，强化基础

目前我院矩阵计算的后续课程为研究生二年级第一学期开设的专业选修课——“新型算法专题”，该选修课主要介绍计算数学各方向的最新算法，以及学科前言、研究热点等。经过矩阵计算课程储备，学生已掌握数值计算中的若干经典算法。但显然教材中的经典算法并不能满足日后科研的需求，这时可以通过选修课程引入学科前言中的最新算法来拓展知识面，进一步强化基础。根据研究生确定的科研课题，计算数学团队各导师准备2～3个科研报告介绍自己领域最新的算法专题。例如，介绍经典算法的拓展、变形、加速或在实际问题中的具体应用，如结合优化技术，以最速下降法和共轭梯度法为基础，介绍非单调线搜索的梯度投影算法、谱投影梯度法以及PRP共轭梯度法等，或应用于流形计算中的黎曼曲线搜索法、黎曼共轭梯度法等;又如为更深化地更系统地学习求解稀疏线性方程组的Krylov子空间方法，结合多媒体，以专题PPT形式详细介绍若干具体krylov子空间方法，如FOM，GMRES，BiCG，CGS[6]等，包括方法背景，原理以及方法的计算过程等;也可以专题形式介绍数值代数领域当前研究热点，如张量方程组求解以及张量计算中的若干经典算法等。

（七）强化課程思政

在课堂中，简单介绍与知识点相关的数学史，不仅可以激发学生强烈的爱国情感和民族自豪感，而且也能激励学生学习的进取精神。矩阵计算的经典算法中含有大量的理论推导，可以培养学生细心严谨的治学态度。矩阵计算内容中蕴藏的有限与无限、特殊与一般、对立与统一等矛盾，可以培养学生的辩证思想。

三、结语

目前针对数学专业的课程教学改革多集中于本科课程，对研究生专业基础课程的改革关注较少。而研究生课程教学的改革意在培养研究能力和创新思维，拓宽学生的研究视野，为未来从事科研工作奠定坚实的基础。因此，提高研究生课程教学的质量将对我国培养高素质的创新型研究人才起着至关重要的作用。研究生课程教学改革是一个长期的、系统的过程，要求任课主讲教师努力探索，调动学生学习的积极性，引导学生结合硕士生导师的科研方向自主学习，真正达到培养学生科研创新能力的目的。

参考文献

[1]徐树方，高立，张平文.数值线性代数（第二版）[M].北京：北京大学出版社，2013.

[2]G.H.，戈卢布，C.F.，范洛恩著.矩阵计算（第三版）[M].袁亚湘，译.北京：科学出版社，2001.

[3]冯新龙，阿布都热西提，张知难.关于《矩阵计算》课程教学的几点体会[J].大学数学，2011，27（2）：1-4.

[4]尹伟石，姜志侠，孟品超，等.《数值代数》课程教学改革的内容与方法[J].课程教育研究，2012（32）：155-156.

[5]李厚彪，黄廷祝，李良，等.适应高层次创新人才培养的研究生“数值代数”课程改革与探索[J].大学数学，2014，30（S1）：1-4.

[6]宋松和，朱建民，唐玲艳，等.高等数值分析课程教学改革探讨[J].高等教育研究学报，2008，31（4）：66-67.