拉格朗日乘数法教学内容改革初探

姚红梅 卜长江 林锰 许丽艳 孙丽珠

[摘 要] 以拉格朗日乘数法为例，探讨大学微积分教学内容改革。通过具体实例几何直观理解拉格朗日乘数法的本质，进一步给出拉格朗日乘数法几何解释及拉格朗日乘子在经济学及代数学中的意义。

[关键词] 拉格朗日乘数法;条件极值;拉格朗日乘子;梯度

[基金项目] 2018年01月-2021年12月黑龙江省高等教育教学改革项目“双一流背景下的高等数学课程建设研究”（SJGY20180102）（卜长江主持）;2014年01月-2017年12月国家自然科学基金面上项目“矩阵Drazin逆符号模式的研究”（11371109）（卜长江主持）

[作者简介] 姚红梅（1979—），女，黑龙江讷河人，理学博士，哈尔滨工程大学数学科学学院讲师，硕士生导师，主要从事大学数学教学及组合与图谱理论学术研究。

[中图分类号] G642.0    [文献标识码] A    [文章编号] 1674-9324（2020）36-0197-03    [收稿日期] 2019-11-15

一、引言

中国高校要建设世界一流大学，办最好的本科教育，就必须对传统教育进行改革[1]。目前大部分大学数学教学仍然偏重数学技巧与细节，对数学知识中蕴藏着的数学思想往往视而不见或忽略不计，这样的数学教育使学生缺乏想象力和独立思考能力，学生不能灵活运用数学的眼光观察问题，很难用数学的思维思考问题，不具备数学的思维分析能力[1]。微积分教学是大学数学教学的重要组成部分，其教学内容的改革对办好本科教育十分重要。本文以拉格朗日乘数法教学为例，打破传统教学中单纯介绍拉格朗日乘数法理论证明，运用例题练习的教学模式。在课堂上运用互动式、启发式教学模式，深度挖掘拉格朗日当时给出拉格朗日乘数法时的思想，对拉格朗日乘子是怎么认识的，进而培养学生数学思维，实现挖掘掩藏在书本知识背后的思想，真正意义上进行微积分教学内容改革，培养学生科研创造思维的目的。

1755年，数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日（1736—1813）在解决复杂几何最值问题时提出拉格朗日乘数法，这种方法在经济、工程以及数学领域广泛应用[2]。

以上给出拉格朗日乘数法的完整几何解释，易于学生深刻理解拉格朗日乘数法的数学本质，能真正实现培养学生数学思维能力和灵活运用知识能力，进而培养学生科研素养。

三、拉格朗日乘子的认识

在利用拉格朗日乘數法求具有约束条件的极值问题时，要引入拉格朗日乘子。然而，拉格朗日乘子是否具有一些实际意义，这在传统教学中很少提及。为了鼓励学生把不同学科的知识融会贯通，培养学生多学科知识背景和结构，进而激发学生自主学习兴趣，本分别文给出拉格朗日乘子在经济学与代数学中的意义。

1.在经济学领域拉格朗日乘子代表利益变化率。

由方程组（3）可知，λ为矩阵A的特征值，相应极值点为属于特征值λ的单位特征向量。

四、结论

本文通过具体实例观察极值点出现的位置，进而从几何角度给出拉格朗日乘数法;同时对拉格朗日乘子给出在经济学及代数学中的解释。这样的教学内容开拓了学生视野，激发学生专业学习兴趣，实现了本科教学真正意义的教学内容改革。

参考文献

[1]曹广福.浅谈大学非数学专业的微积分教学[J].中国大学数学，2018，1（1）：66-86.

[2]George B T， JR.Ross L F. Calculus and Analytic Geometry[M]. 7th Edition. The United States：Addison-Wesley Publishing Company，1987：936-946.

[3]Laurence D H，Gerald L B.Brief Calculus with Applications[M].5th Edition.The United States：McGRAW-HILL，INC，1993：516-527.

[4]Lim L.H.Singular Values and Eigenvalues of Tensors：A Variational Approach[J].In：Proceedings of the IEEE International Workshop on Computational Advances in MultiSensor Adaptive Processing，2005，1：129-132.