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回文数与无厘头的冰雹

2020-10-08蔡天新

南方周末 2020-10-08
关键词:数论瑞尔奇数

蔡天新

风靡美国校园的数字游戏:对于任意一个自然数n,如果是个奇数,则下一步变成3n+1;如果是个偶数,则下一步变成n/2。无论n是什么数,最终都要跌落到谷底1。

视数学和科学为游戏的约翰·康威。

《一千零一夜》中会讲故事的谢赫拉莎德。

★数论看起来包含了数学的大部分罗曼史。

——路易斯·莫德尔(英国)

游戏天才康威

2020年4月12日,普林斯顿大学约翰尼·冯·诺伊曼讲座教授约翰·康威(John Horton Con-way)教授因新冠肺炎去世,享年83岁。康威是当代最活跃的全能型数学家,在数论、群伦、博弈论等领域均有卓越贡献,同时兼攻量子力学和生物学。在学术研究之余,康威还出版了大量脍炙人口的科普著作。不仅如此,康威视数学和科学为游戏,他的传记书名就叫《游戏天才》。

1937年,康威出生于英国利物浦。他的父亲是利物浦一所中学的实验室助理,著名的披头士乐队成员中有两位曾在那所中学上学。康威的父亲在科学方面非常博学,而且酷爱诗歌。他常在家里来回踱步,一边刮脸一边吟诵诗歌,有时甚至赤身裸体。在康威心目中,父亲是一个特别有趣的人。

11岁那年,康威进入了一所新学校,校长与他有过一次面谈。校长问康威以后打算做什么,他回答说想去剑桥念数学。七年以后他果真做到了,并在剑桥一路攀升,成为英国皇家学会的会员(院士)。之后,普林斯顿大学为康威提供了一份工作,从此他一直在美国生活。

在科学界,康威最著名的发明是生命游戏,它开创了细胞自动机的新领域。在数学领域,他发现了几个很大的对称群,这是很难做到的事情。最让康威引以为傲的是,他发现了全新的数的世界,被同行命名为“超实数”。两千多年前,阿基米德创建了我们常用的实数理论;一百多年前,德国数学家康托尔发现了无穷数的理论;超实数将二者同时包括在内。

因为康威的学术成就和影响力,当5月24日美国的新冠死亡人数逼近10万之际,《纽约时报》在头版和内页用4个整版刊登了1000名死者名单,以及他们的年龄、职业和成就,康威的名字自然出现在头版。在康威的诸多数学科普著作里,他曾提到花环数和角谷猜想,下面我想对这两个概念进行阐释。其中花环数与我国古代的回文诗有相似之处,而角谷猜想既吸引了康威这样的大数学家的关注,也引发了许多业余爱好者的兴趣。

回文诗与花环数

赏花归去马如飞,去马如飞酒力微;酒力微醒时已暮,醒时已暮赏花归。

12世纪的一个夏日,大诗人苏东坡陪妹妹游杭州西湖时写下了这首回文诗。“回文”是指正读反读都能读通的句子,它是古今中外都有的一种修辞方式和文字游戏,例如,“我为人人,人人为我”。在英文里也有回文,“Race car”,“Step on no pets”,“Put it up”,“Was it a car or a cat I saw?”,“A man,a plan,a canal,Panama!”又如西班牙文里有,“Amor Roma”。

有趣的是,数学里也有一种叫回文数的游戏。

大约在公元850年,印度数学家马哈维拉撰写了《计算精华》一书,该书曾在南印度被广泛使用。1912年,这部书被译成英文在马德拉斯(现改名金奈)出版,成为印度第一部初具现代形式的教科书。书中提到了“花环数”,即将两整数相乘,使其乘积的数呈中心对称,此即“回文数”。马哈维拉亲自找到了一些回文数,例如

14287143×7=100010001

12345679×9=111111111

27994681×441=12345654321

之所以称花环数,估计与印度人爱花,同时花环是无头无尾且对称有关。英文里叫Palindromic number,阿拉伯人称其为谢赫拉莎德数,即以《一千零一夜》里那位会讲故事的王妃命名。事实上,1001本身便是一个花环数。

方幂数里也有许多花环数,例如121(11的平方)、343(7的立方)、14641(11的四次方)。迄今为止,人们尚未找到5次或更高次幂次型的回文数,于是有了下列尚未证明的猜想。

猜想 不存在5次或更高幂次型的回文数。

值得一提的是,四位和六位回文数有一个特点,它决不可能是素数。例如,设其为abba,它等于1000a +100b +10b + a=1001a +110b,能被11整除。

一个回文数,如果它同时还是某个数的平方,就叫做平方回文数。1000以内的正整数里,有108个回文数,而平方回文数只有6个,即1、4、9、121、484、676;考虑到1000以内的平方数只有31个,因此比例相对较高。另外有些数,通过不断与它的倒序数相加,也可得到回文数。例如,29+92=121;194+491=685,586+685=1271,1271+1721=2992。于是,又有了以下问题。

问题 是否任何一个正整数与它的倒序数相加,所得的和再与和的倒序数相加,……如此反复,经过有限次步骤后,最后必定可以得到一个回文数?

必须指出,有些数至今仍未发现有此类特征,例如196。在电子计算机尚未问世的1938年,美国数学家拉赫曼便已计算到了第73步。2006年,已计算到699万步,得到了一个2.89亿位的和数。2015年,这个和数达到了10亿位,仍不是回文数。也就是说,人们既不能肯定运算下去是否永远得不到回文数,也不知道需要再运算多少步才能得到回文数。

永远得不到回文数的正整数被称为“利克瑞尔数”(Lychrel number),196可能是最小的利克瑞尔数,因而受到了特别的关注。说起这个名字,它的来历也蛮有趣,是发明者 Landingham姓氏的第一个字母L与他当时的女友Cheryl字母的组合拼贴。

不难看出,假如196或其他数是利克瑞尔数,那么它后面的那些和数都是。也就是说,只要有一个利克瑞尔数,就有无穷多个利克瑞尔数。另外,还有一个关于“回文数”计算步数的世界纪录。它是一个19位数字1,186,060,307,891,929,990,算出它的“回文数”用了261步,这是在2005年11月30日找到的。

无厘头的冰雹倾泻

自然数里包含着无穷无尽的奥秘。将近一个世纪以前,美国出生的英国数学家莫德尔在一篇随笔中这样写道:

数论是无与伦比的,因为整数和各式各样的结论,因为美丽和论证的丰富性。数论看起来包含了数学的大部分罗曼史。如同高斯给索菲·热尔曼的信中所写的,“这类纯粹的研究只对那些有勇气探究她的人才会展现最魅人的魔力”。

或许有一天,全世界的黄金和钻石会被挖掘殆尽,可是数论,却是取之不竭的珍宝。前文我们给出了回文数的性质以及利克瑞尔数存在的可能性,下面我们要讨论的角谷猜想也有类似情况,是否存在一个回不到1的反例呢? 事情得从一则新闻报道说起。

1976年的一天,《华盛顿邮报》头版头条报道了一条新闻。此报道讲述的是一则与数学有关的故事:

20世纪70年代中期,美国诸多名牌大学校园内,人们都像发疯一般,夜以继日,废寝忘食地玩弄一种数学游戏。这个游戏十分简单:任意写出一个自然数n,按照以下的规律进行变换,如果是个奇数,则下一步变成3n+1;如果是个偶数,则下一步变成n/2(见左图)。

不单单是学生,甚至连教授、实验员都纷纷加入,无论是数学还是非数学专业。为什么这种游戏的魅力如此引人入胜? 因为人们发现,无论n是怎样一个数字,最终都无法逃脱回到谷底1。准确地说,是无法逃出落入底部的4-2-1循环,永远也逃不出这样的宿命。

这就是著名的“冰雹猜想”。它的最大魅力在于不可预知性。那时仍在剑桥大学执教的康威也对这个问题着了迷,他找到了一个自然数27。虽然27貌不惊人,但如果按照上述方法进行运算,则它的上浮下沉异常剧烈:首先,27要经过77步骤的变换到达顶峰值9232,然后又经过34步骤到达谷底值1。

全部的变换过程(称作“雹程”)需要111步,其峰值9232是原有数字27的342倍多,如果以瀑布般的直线下落(2的n次方)来比较,则具有同样雹程的数字n要达到2的13次方。而在1到100的范围内,27以及27的2倍54的波动是最为剧烈的。

这个“冰雹问题”便是著名的3x+1问题。1937年,德国数学家柯拉茨考虑了下列数论函数f(x)=x/2,若x是偶数,f(x)=(3x+1)/2,若x是奇数。柯拉兹猜想,对任意正整数x,经过有限次迭代运算后,f(x)均归于1,而迭代的次数被称为x的停摆时间(stopping time)。这被称为柯拉兹猜想。

不过,也还有其他命名法,比如乌拉姆猜想、叙拉古问题,等等。大概因为在世界各地,许多人都提出过这个问题。在中国,它常常被称为角谷猜想,这是因为日本出生的美国数学家角谷静夫也曾提出这一猜想。角谷以提出并证明分析学中的角谷不动点定理(1941)闻名数学界,此定理后来被约翰·纳什用来证明“纳什均衡定理”,至今仍在经济学和博弈论中有着广泛应用。

值得一提的是,角谷静夫的女儿美智子是一位新闻记者,也是一位文学评论家,获得过普利策奖(1998)。美智子如今是《纽约时报》的首席书评家,她曾多次就阅读问题提问时任美国总统巴拉克·奥巴马,包括对中国科幻小说《三体》的看法,并邀请他开出给女儿的书单。前者曾引爆美国读者对《三体》的热情关注,后者是总统卸任前最后一次接受《纽约时报》采访。

角谷猜想的推广

虽然有人验算了x不超过2的50次方的3倍猜想均成立,但至今仍无人能够证明或否定它。匈牙利数学家爱多士甚至认为,用现有的数学方法无法完全证明角谷猜想。即便考虑类似qx+1问题(q为大于3的奇数)或3x-1问题这样的推广,也被认为没有可能性。换句话说,猜想的自然推广并不存在。做出此断言的,正是那位发现x=27处有冰雹现象的康威。

近年来,作者在与浙西南淳安县山区中学老师徐胜利的通信中,作了一些新的探索和尝试。我们首先注意到,当x是奇数时,3x+1必是偶数,下一步应是(3x+1)/2。因此,我们可以把问题转化为下列等价的数论函数:g(x)=x/2,若x是偶数,g(x)=[3x/2]+1,若x是奇数。

这里[x]是不超过x的最大整数,或曰x的整数部分(也有人称它为高斯函数),此处x可取任意实数,例如[2.718]=2,[-3.14]=-4。不难验证,函数f(x)与g(x)是等价的。

有了上述等价定义以后,我们便可将角谷猜想予以推广。事实上,可以把g(x)公式右边方括号里的3x/2改成4x/3、5x/4,等等,结论依然成立。

对于原汁原味的3x+1问题,也有以下推广,这是中国驻柬埔寨某国际组织的数学爱好者沈利兴在阅读拙作《数之书》后的想法,他利用计算机做了验证,然后发给了我。设k是任意非负整数,用3+3k替代原来的3x+1。当k=0时,便是原来的3x+1问题。沈利兴猜测:设k为非负整数,对于任意正整数x,经过有限次迭代运算后,必均归于3k。特别地,当k=0时,此即3x+1问题。

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