回文数与无厘头的冰雹

蔡天新

风靡美国校园的数字游戏：对于任意一个自然数n，如果是个奇数，则下一步变成3n+1；如果是个偶数，则下一步变成n/2。无论n是什么数，最终都要跌落到谷底1。

视数学和科学为游戏的约翰·康威。

《一千零一夜》中会讲故事的谢赫拉莎德。

★数论看起来包含了数学的大部分罗曼史。

——路易斯·莫德尔（英国）

游戏天才康威

2020年4月12日，普林斯顿大学约翰尼·冯·诺伊曼讲座教授约翰·康威（John Horton Con-way）教授因新冠肺炎去世，享年83岁。康威是当代最活跃的全能型数学家，在数论、群伦、博弈论等领域均有卓越贡献，同时兼攻量子力学和生物学。在学术研究之余，康威还出版了大量脍炙人口的科普著作。不仅如此，康威视数学和科学为游戏，他的传记书名就叫《游戏天才》。

1937年，康威出生于英国利物浦。他的父亲是利物浦一所中学的实验室助理，著名的披头士乐队成员中有两位曾在那所中学上学。康威的父亲在科学方面非常博学，而且酷爱诗歌。他常在家里来回踱步，一边刮脸一边吟诵诗歌，有时甚至赤身裸体。在康威心目中，父亲是一个特别有趣的人。

11岁那年，康威进入了一所新学校，校长与他有过一次面谈。校长问康威以后打算做什么，他回答说想去剑桥念数学。七年以后他果真做到了，并在剑桥一路攀升，成为英国皇家学会的会员（院士）。之后，普林斯顿大学为康威提供了一份工作，从此他一直在美国生活。

在科学界，康威最著名的发明是生命游戏，它开创了细胞自动机的新领域。在数学领域，他发现了几个很大的对称群，这是很难做到的事情。最让康威引以为傲的是，他发现了全新的数的世界，被同行命名为“超实数”。两千多年前，阿基米德创建了我们常用的实数理论；一百多年前，德国数学家康托尔发现了无穷数的理论；超实数将二者同时包括在内。

因为康威的学术成就和影响力，当5月24日美国的新冠死亡人数逼近10万之际，《纽约时报》在头版和内页用4个整版刊登了1000名死者名单，以及他们的年龄、职业和成就，康威的名字自然出现在头版。在康威的诸多数学科普著作里，他曾提到花环数和角谷猜想，下面我想对这两个概念进行阐释。其中花环数与我国古代的回文诗有相似之处，而角谷猜想既吸引了康威这样的大数学家的关注，也引发了许多业余爱好者的兴趣。

回文诗与花环数

赏花归去马如飞，去马如飞酒力微；酒力微醒时已暮，醒时已暮赏花归。

12世纪的一个夏日，大诗人苏东坡陪妹妹游杭州西湖时写下了这首回文诗。“回文”是指正读反读都能读通的句子，它是古今中外都有的一种修辞方式和文字游戏，例如，“我为人人，人人为我”。在英文里也有回文，“Race car”，“Step on no pets”，“Put it up”，“Was it a car or a cat I saw?”，“A man，a plan，a canal，Panama！”又如西班牙文里有，“Amor Roma”。

有趣的是，数学里也有一种叫回文数的游戏。

大约在公元850年，印度数学家马哈维拉撰写了《计算精华》一书，该书曾在南印度被广泛使用。1912年，这部书被译成英文在马德拉斯（现改名金奈）出版，成为印度第一部初具现代形式的教科书。书中提到了“花环数”，即将两整数相乘，使其乘积的数呈中心对称，此即“回文数”。马哈维拉亲自找到了一些回文数，例如

14287143×7=100010001

12345679×9=111111111

27994681×441=12345654321

之所以称花环数，估计与印度人爱花，同时花环是无头无尾且对称有关。英文里叫Palindromic number，阿拉伯人称其为谢赫拉莎德数，即以《一千零一夜》里那位会讲故事的王妃命名。事实上，1001本身便是一个花环数。

方幂数里也有许多花环数，例如121（11的平方）、343（7的立方）、14641（11的四次方）。迄今为止，人们尚未找到5次或更高次幂次型的回文数，于是有了下列尚未证明的猜想。

猜想　不存在5次或更高幂次型的回文数。

值得一提的是，四位和六位回文数有一个特点，它决不可能是素数。例如，设其为abba，它等于1000a +100b +10b + a=1001a +110b，能被11整除。

一个回文数，如果它同时还是某个数的平方，就叫做平方回文数。1000以内的正整数里，有108个回文数，而平方回文数只有6个，即1、4、9、121、484、676；考虑到1000以内的平方数只有31个，因此比例相对较高。另外有些数，通过不断与它的倒序数相加，也可得到回文数。例如，29+92=121；194+491=685，586+685=1271，1271+1721=2992。于是，又有了以下问题。

问题　是否任何一个正整数与它的倒序数相加，所得的和再与和的倒序数相加，……如此反复，经过有限次步骤后，最后必定可以得到一个回文数？

必须指出，有些数至今仍未发现有此类特征，例如196。在电子计算机尚未问世的1938年，美国数学家拉赫曼便已计算到了第73步。2006年，已计算到699万步，得到了一个2.89亿位的和数。2015年，这个和数达到了10亿位，仍不是回文数。也就是说，人们既不能肯定运算下去是否永远得不到回文数，也不知道需要再运算多少步才能得到回文数。

永远得不到回文数的正整数被称为“利克瑞尔数”(Lychrel number),196可能是最小的利克瑞尔数，因而受到了特别的关注。说起这个名字，它的来历也蛮有趣，是发明者　Landingham姓氏的第一个字母L与他当时的女友Cheryl字母的组合拼贴。

不难看出，假如196或其他数是利克瑞尔数，那么它后面的那些和数都是。也就是说，只要有一个利克瑞尔数，就有无穷多个利克瑞尔数。另外，还有一个关于“回文数”计算步数的世界纪录。它是一个19位数字1,186,060,307,891,929,990,算出它的“回文数”用了261步，这是在2005年11月30日找到的。

无厘头的冰雹倾泻

自然数里包含着无穷无尽的奥秘。将近一个世纪以前，美国出生的英国数学家莫德尔在一篇随笔中这样写道：

数论是无与伦比的，因为整数和各式各样的结论，因为美丽和论证的丰富性。数论看起来包含了数学的大部分罗曼史。如同高斯给索菲·热尔曼的信中所写的，“这类纯粹的研究只对那些有勇气探究她的人才会展现最魅人的魔力”。

或许有一天，全世界的黄金和钻石会被挖掘殆尽，可是数论，却是取之不竭的珍宝。前文我们给出了回文数的性质以及利克瑞尔数存在的可能性，下面我们要讨论的角谷猜想也有类似情况，是否存在一个回不到1的反例呢？　事情得从一则新闻报道说起。

1976年的一天，《华盛顿邮报》头版头条报道了一条新闻。此报道讲述的是一则与数学有关的故事：

20世纪70年代中期，美国诸多名牌大学校园内，人们都像发疯一般，夜以继日，废寝忘食地玩弄一种数学游戏。这个游戏十分简单：任意写出一个自然数n，按照以下的规律进行变换，如果是个奇数，则下一步变成3n+1；如果是个偶数，则下一步变成n/2（见左图）。

不单单是学生，甚至连教授、实验员都纷纷加入，无论是数学还是非数学专业。为什么这种游戏的魅力如此引人入胜？　因为人们发现，无论n是怎样一个数字，最终都无法逃脱回到谷底1。准确地说，是无法逃出落入底部的4-2-1循环，永远也逃不出这样的宿命。

这就是著名的“冰雹猜想”。它的最大魅力在于不可预知性。那时仍在剑桥大学执教的康威也对这个问题着了迷，他找到了一个自然数27。虽然27貌不惊人，但如果按照上述方法进行运算，则它的上浮下沉异常剧烈：首先，27要经过77步骤的变换到达顶峰值9232，然后又经过34步骤到达谷底值1。

全部的变换过程（称作“雹程”）需要111步，其峰值9232是原有数字27的342倍多，如果以瀑布般的直线下落（2的n次方）来比较，则具有同样雹程的数字n要达到2的13次方。而在1到100的范围内，27以及27的2倍54的波动是最为剧烈的。

这个“冰雹问题”便是著名的3x+1问题。1937年，德国数学家柯拉茨考虑了下列数论函数f(x)=x/2，若x是偶数，f(x)=(3x+1)/2，若x是奇数。柯拉兹猜想，对任意正整数x，经过有限次迭代运算后，f(x)均归于1，而迭代的次数被称为x的停摆时间（stopping time）。这被称为柯拉兹猜想。

不过，也还有其他命名法，比如乌拉姆猜想、叙拉古问题，等等。大概因为在世界各地，许多人都提出过这个问题。在中国，它常常被称为角谷猜想，这是因为日本出生的美国数学家角谷静夫也曾提出这一猜想。角谷以提出并证明分析学中的角谷不动点定理（1941）闻名数学界，此定理后来被约翰·纳什用来证明“纳什均衡定理”，至今仍在经济学和博弈论中有着广泛应用。

值得一提的是，角谷静夫的女儿美智子是一位新闻记者，也是一位文学评论家，获得过普利策奖（1998）。美智子如今是《纽约时报》的首席书评家，她曾多次就阅读问题提问时任美国总统巴拉克·奥巴马，包括对中国科幻小说《三体》的看法，并邀请他开出给女儿的书单。前者曾引爆美国读者对《三体》的热情关注，后者是总统卸任前最后一次接受《纽约时报》采访。

角谷猜想的推广

虽然有人验算了x不超过2的50次方的3倍猜想均成立，但至今仍无人能够证明或否定它。匈牙利数学家爱多士甚至认为，用现有的数学方法无法完全证明角谷猜想。即便考虑类似qx+1问题（q为大于3的奇数）或3x-1问题这样的推广，也被认为没有可能性。换句话说，猜想的自然推广并不存在。做出此断言的，正是那位发现x=27处有冰雹现象的康威。

近年来，作者在与浙西南淳安县山区中学老师徐胜利的通信中，作了一些新的探索和尝试。我们首先注意到，当x是奇数时，3x+1必是偶数，下一步应是（3x+1）/2。因此，我们可以把问题转化为下列等价的数论函数：g(x)=x/2，若x是偶数，g(x)=[3x/2]+1，若x是奇数。

这里[x]是不超过x的最大整数，或曰x的整数部分（也有人称它为高斯函数），此处x可取任意实数，例如[2.718]=2，[-3.14]=-4。不难验证，函数f（x）与g（x）是等价的。

有了上述等价定义以后，我们便可将角谷猜想予以推广。事实上，可以把g(x)公式右边方括号里的3x/2改成4x/3、5x/4，等等，结论依然成立。

对于原汁原味的3x+1问题，也有以下推广，这是中国驻柬埔寨某国际组织的数学爱好者沈利兴在阅读拙作《数之书》后的想法，他利用计算机做了验证，然后发给了我。设k是任意非负整数，用3+3k替代原来的3x+1。当k=0时，便是原来的3x+1问题。沈利兴猜测：设k为非负整数，对于任意正整数x，经过有限次迭代运算后，必均归于3k。特别地，当k=0时，此即3x+1问题。