由一道题目引发的圆锥曲线性质的猜想与证明

孙涛

摘要：圆锥曲线是高考的重要内容之一，所占分数也比较高，有针对性地考查椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质及其应用，解答题主要是以圆或椭圆为基本依托，考查椭圆方程的求解、考查直线与曲线的位置关系，除了本身知识的综合，还会与其他知识如向量、函数、不等式等知识构成综合题，重点掌握直线与圆锥曲线相关问题的基本求解方法与策略，提高运用函数与方程思想、向量与导数的方法来解决问题的能力。

关键词：椭圆;双曲线;抛物线;方程思想

题目：椭圆E的左焦点为F₁，右焦点为F₂，离心率，过F₁的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF₂周长为8。

（1） 求椭圆E的方程;

（2） 设动直线∶y=kx+m椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q，试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由。

经计算发现，直线x=4为椭圆E的右准线：，而定点M（1，0）为椭圆的右焦点。笔者大胆猜想：

猜想一（由椭圆右准线、右焦点联想椭圆左准线、左焦点） ： 椭圆E：的左焦点为F₁，右焦点为F₂，动直线∶y=kx+m与椭圆E相切于点P，若直线与椭圆E的右准线相交于点Q，那么以PQ为直径的圆恒过椭圆的右焦点F₂;若直线与椭圆E的左准线相交于点Q，那么以PQ为直径的圆恒过椭圆的左焦点F₁。

下面以证明“椭圆E：的右焦点为F₂，动直线∶y=kx+m与椭圆E相切于点P，若直线与椭圆E的右准线相交于点Q，那么以PQ为直径的圆恒过椭圆的右焦点F₂”。

证明：由得，

因为动直线与椭圆E相切于点P，所以m≠0，△=0，即

化简得（*），因为

所以，由

得，假设坐标平面内存在以PQ为直径

的圆恒过定点M，由图形的对称性知，点M必在x上，设M（x₀，0），则，对满足*式的m，k恒成立。因为

，由得，

，整理得

（**），由于（**）式对满足（*）式的m，k恒成立，所以

，解得x₀=c，所以定点M（c，0）即为椭圆E的右焦点F₂，所以以PQ为直径的圆恒过椭圆的右焦點F₂。

（本题也可直接由证得）

猜想二（由椭圆联想双曲线）：双曲线E：的左焦点为F₁，右焦点为F₂，动直线∶y=kx+m与双曲线E相切于点P，若直线与双曲线E的右准线相交于点Q，那么以PQ为直径的圆恒过双曲线的右焦点F₂;若直线与双曲线E的左准线相交于点Q，那么以PQ为直径的圆恒过椭圆的左焦点F₁。

证明方法与证明椭圆的方法相同。

猜想三（由椭圆联想抛物线）：抛物线E：y²=2px的焦点为F，动直线∶y=kx+m与抛物线E相切于点P，且与抛物线E的准线相交于点Q，那么以PQ为直径的圆恒过抛物线的焦点F。

证明：由得k²x²+2（km-p）x+m²=0，因为动直线与椭圆E相切于点P，所以k≠0，△=0，即4k²m²+4p²-8kpm-4k²m²=0化简得p=2km（*），因为所以，由得，假设坐标平面内存在以PQ为直径的圆恒过定点M，由图形的对称性知，点M必在x上，设M（x₀，0），则，对满足*式的m，k恒成立。因为，，由得，整理得（**）由于（**）式对满足（*）式的m，k恒成立，所以，解得，所以定点M即为抛物线E的焦点F，所以以PQ为直径的圆恒过抛物线的焦点F。