波函数的物理实质与量子概率的起源

2020-09-29赵国求

武汉理工大学学报（社会科学版） 2020年3期

赵国求

(华中科技大学——WISCO联合实验室，湖北武汉 430074)

一、引言

量子力学的诸多困惑中，波函数的物理意义和量子概率的起源是大家最为关心的两大难题，至今依然讨论热烈，意见不一[1]。关于波函数的物理意义，以爱因斯坦为代表，德布罗意、薛定谔为其主要成员，认为波函数本身具有物理意义，波函数描述物理实在，称为实在论学派[2]；而以玻尔为代表，玻恩、海森伯、狄拉克为其主要成员，认为波函数本身没有物理意义，描述微观粒子的概率分布，波函数绝对值的平方描述微观粒子在时空中出现的概率密度[2-3]。波函数是认知世界的知识(认知主义)，称为非决定论学派。

争论中，后来有学者甚至直接认为波函数本身就是实在，即所谓数学实在[4]。由此，对于量子概率的来源也有两种完全相反的意见。以爱因斯坦为代表的一派认为，量子概率起源于外界不确定因素，后来玻姆明确为“隐变量”[5]，上帝不掷骰子；以玻尔为代表的另一派则认为，微观粒子自身具有“天生”的不确定性，量子概率起源于粒子的本性[6]。当然，还有后来的量子概率起源于运动不确定性及量子概率起源于外部杂散信号的干绕等等[7]。

对于量子力学的困难，法国的拓姆[8]，日本的板田昌一[9]、汤川秀树[10]都认为是点模型惹的祸。他们认为，在微观领域，我们不能把微观客体当作质点处理，用什么模型合适，他们也没有说清楚。当今，超玄理论也应该算是一个非点模型理论，曾经辉煌一时。但时至今日，玄论发展已经遇到很大困难，数学过于复杂，物理内涵不足，难以继续发展[11]。

在2018年的中国山西国际量子力学基础讨论会上，美国达特茅斯学院(United States Dartmouth College)Peter J. Lewis教授围绕着测量导致坍缩问题，指出实在论有自发坍缩(Spontaneous collapse)、导航波理论(pilot-wave theory)和多世界理论(Many worlds theory)三种主要观点，但这些模型自身的缺陷也导致了非充分决定性、非定域性、概率、维度、自相互作用等难以解决的问题。认知主义针对实在论的困境，提出波函数不是对于世界的描述，而是有关信息、知识和信念的理论。这一路径四种理论形态分别是ψ-认知主义(ψ-cognitivism)、量子信息(Quantum information)、量子贝叶斯(Quantum Bayesianism)和量子实用主义(Quantum pragmatism)。刘易斯教授也表达了自己对于干涉问题的一些忧虑[12]。

我们的方案是放弃点模型，采用旋转场物质球模型，建立双4维时空描述微观量子现象。双4维时空中波函数描述的是物理波，量子概率起源于微观客体的有形结构、物质密度分布及双4维时空到经典时空描述的转换。量子测量能够促使这种时空转换、物质波演变成概率波[13]。这将对深入讨论量子测量、量子纠缠、量子通信物理本质有重要意义。

二、双4维时空数学基础

(一)球面的复数描述

1.坐标复空间。

Z=x+iy=rei θ

r=r(x,y)

(1)

r=(x2+y2)1/2

描述球心在坐标原点的复空间球面坐标。

2.复数Z的映射空间。

W=1/Z*=Aei θ=u+iv

(2)

W*=1/Z=Ae-i θ=u-iv

(3)

A=1/r , |A|2= u2+v2

(4)

|Aei θ|2=|A|2=1/r2是球面曲率。为讨论波函数方便见，我们把球面大圆曲率A=1/r简称为“球面”曲率[14]。

(二)复数球

量子力学波函数ψ，是复数函数。复数可以在复数球上定义[15]。见图1。

图1 复数球—黎曼球

图1中复平面

W=1/Z*=Aei θ=u+iv

(5)

W*=1/Z=Ae-i θ=u-iv

(6)

|A|2=u2+v2

(7)

1.复数W=1/Z*=Aei θ中，A=1/r，当r→0，|Z*|→0 ，W→∞，是北极奇点；r=0，|Z*|=0，W无定义。映射到复球外，成为实空间中的几何点。

2.微观客体，曲率半径(曲率)的演变是：

若复数Z=x+iy=rei θ，令r=R，而R是微观客体球模型大园的曲率半径，则A=1/r=1/R=k，k=1/R定义为微观客体的曲率。

R→0，k→∞；R=0，k=∞，是质点，正好与实空间中的几何点对应。复空间的曲率模型也演变成了实空间的质点模型。在复空间，当0

3.复数球内外映射的物理机制与意义还可理解为：微观客体自身的K空间，通过曲率k→∞，R=0(或h→0)，紧致化为零维，隐藏的自由度再次隐藏，成为4 维实时空中的点粒子。微观客体的波动运动，演变成微观客体的点粒子运动，或者是轨迹的，或者是概率的。量子力学回到经典力学或经典统计力学。

(三)双4元数复空间、双4维复相空间、双4维复时空

1.双4元数复空间。

定义：

W(x,y)=1/Z*=u(x,y)+iv(x,y)=Aei α

(8)

ψ(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)=A(x,y)exp(-iyμxμ)

这里yμ，xμ为双4元数复空间虚、实空间坐标，出现在波函数的相位中。

2.双4维复相空间。

由式 (8)可以定义双4维复相空间。当xμ看成是矢量x的4维分量，yμ看成是矢量y的4维分量时：

xμ=(x1,-x2,-x3,-x4)

yμ=(y1，-y2，-y3，-y4)

(9)

则Zμ=xμ+iyμ就可以看成是由矢量x、y生成的双4 维复相空间。

波函数：

ψ(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)=A(x,y)exp(-iyμxμ)

(10)

式(10)是双4 维复相空间中的波函数，它与式(8)中的波函数形式完全相同，但相空间的坐标xμ，yμ是矢量x、y的分量，具有矢量x、y的属性，但必须保证相位角yμxμ具有无量纲特性。

3.双4维复时空。

若矢量y具有物质密度属性，则双4维时空具有物质密度属性；若矢量x具有概率属性，则双4维时空具有概率属性；若矢量分量xμ之一具有时间属性，则称双4维复相空间xμ，yμ为双4维复时空[13]。

二、微观客体的几何建构及其波函数与描述空间

(一)微观客体的几何建构

研究表明，现代物理学不可能把微观客体的空间坐标定位得比康普顿波长更小[16]，而这正是双4维时空量子力学创建场物质球模型的实验基础。微观客体是“转动的质量均匀分布的场物质球”，有一定的空间分布，位置x对于微观客体具有不确定属性。微观客体的状态[13]：

1.静态几何描述：曲率半径由式(11)定义，m0为物质场静质量，R0呈现静态微观客体“内在”物质波场分布的广延性。

R0=ħ/m0c

(11)

而曲率K0由式(12)定义，K0是粒子性的象征。R0、K0是一个相对任何静止参考系的不变量，与空间位置无关。它是一个不可直接观察量，但真实存在，类似物理本体，K0称为该微观客体的量子曲率。

K0=1/R0=m0c/ħ

(12)

2.动态几何描述：曲率半径的定义为：

R1=ħ/mc

(13)

曲率的定义为：

k1=1/R1=mc/ħ

(14)

其中m为运动质量，质量m增大，曲率半径减小，曲率增大。运动场物质球是一个形体可变动的量子客体，在平动与自旋中，保证球的边缘线速不超过光速，与相对论协调。它是物理理论中的物理实体，相互作用实在论中称为“现象实体”[17]。

3.三维空间映射。曲率半径的定义为：

Ri=ħ/mvi

(15)

曲率的定义为：

ki=mvi/ħ

(16)

pi=mvi是相对论动量，三维空间可观察量。

可见，微观客体在三维可观察空间的“映射”，其曲率半径既可以非常之大，也可以非常之小，类似于对波长的理解。它与微观客体自身空间结构R0、R1不等同，类似一种“影象”[18]。如果微观客体的动量、能量是在电磁场中获得的，我们称其为电磁性曲率或电磁性量子曲率。

4.转动频率的定义为：

ν0=E0/h,ν1=E/h, (νi=Ei/h)

(17)

5.场物质密度的定义为：

η=m/V=η(k)

(18)

V为场物质球体积，V=V(R)，R=R(k)，物质场密度η是曲率k的函数，k=k0，k1，ki，(K1-Ki=K0)。可以证明：场物质球V减小，k增大，物质场密度η升高；场物质球V增大，k减小，物质场密度η降低，η(k)与k正相关。

按我们的理解，R0、R1应该不小于普朗克长度，场物质球的场物质密度、能量密度都不可能无穷大。回避了点粒子理论的无穷大困难。

(二)场物质球的坐标复空间与曲率复空间描述[13]

1.坐标复空间式(1)描述球心在坐标原点的复空间球面坐标。若上述复数的模r由微观客体曲率半径R定义，令r=R，则上述复空间的球面坐标，描述半径为R的场物质球球面坐标，且

R=R(x,y)，R=(x2+y2)1/2

(19)

静态微观客体：R=R0=ħ/m0c；运动微观客体：R=R1=ħ/mc；三维空间的映射：R=Ri=ħ/mvi。场物质球描述于坐标复空间。

2.曲率复空间。

引入曲率复空间如下：

W=1/z※=u(x,y)+iv(x,y)=(1/r)eiα=keiα,k=1/r

(20)

W是Z的映射空间，描述球心在坐标原点，模为k(x,y)=1/r的曲率球球面坐标。同样，若k由微观客体场物质球的曲率k=1/R定义，则曲率复空间W描述半径为R的场物质球的曲率球球面坐标。静态微观客体：k=K0=1/R0，运动微观客体：k=k1=1/R1，三维空间的映射：k=Ki=1/Ri。

对于Z空间，物质波场在球内，球外是空的，宏观大尺度下可简化成质点；而对于映射空间W，物质波场通过曲率球映射到球外，呈全域空间分布，球内是空的。相对于场物质球，Z空间与W空间相互映射，描述同一物质波场，类似对偶假设。量子力学中的所有波函数都描述在这一空间中。

量子力学中波函数的全空间分布特性，就是在这种空间转换中不知不觉完成的。电子全空间分布在4维实空间不是真实的，是内、外部空间转换，理论描述中数学、物理应用方便的需要，也是描述量子现象的需要。

在实时空，我们用质点的运动描述物体的轨道运动或概率分布；而在复空间，则用曲率半径R和曲率k的运动和变化描述微观客体的物质波。物质波是微观客体内部场物质密度或空间结构的波动运动。这就是微观客体不作轨道运动的物理意义。

曲率k的引入是对波矢物理意义的拓展，是物质的几何化，是对点模型隐藏空间自由度的揭示，可归于量子力学描述时空的属性。物质波场的运动状态与微观客体受到的相互作用相关，由规范场和量子测量来讨论。

(三)相对论能量公式的启示

由微观客体的相对论能量公式如下：

E2=(mvi)2c2+m02c4, (mc)2=(mvi)2+(m0c)2

(21)

可得动量三角形：

(22)

曲率三角形：

(23)

矢量关系是：

K0=K1-Ki

(24)

由于K1、Ki可建构，且与微观客体自身相联系的4维曲率空间K和四维坐标空间x相关。

四维曲率K空间：

k=K(k1-k2-k3-k4)

(25)

四维坐标x空间：

x=x(x1-x2-x3-x4)

(26)

四维曲率K的空间不变量由式(12)给予

(27)

四维坐标空间不变量

(28)

K，x空间是双4维平直空间。dK0，dx0是两个4维坐标变换的不变量。正好体现不依赖时空变换的微观客体——物理本体的存在。dx0是dK0在四维空间x上的投影。

通过场物质球模型及物质波场量子化特征，可将微观客体自身空间分布特性，结合其在坐标空间的不确定性属性，建构一个双4维复相空间W(x,k)，描述微观量子现象。其中变量k即为公式(10)中y=k的特例[13]。

(四)双4维时空中的物质波波函数

由“静态”康普顿动量m0c可建构旋转微观客体的半径和曲率。在曲率复空间，微观客体自身坐标系，物质波波函数[13]：

Ψ0=A0е-i ω0 t0,m0c2=hν0

(29)

t0为微观客体自身坐标系时间。观察从静止开始作匀速运动，由洛伦兹变换:t0=(t-vx/c2)/(1-v2/c2)1/2，在观察系K，看到平面波

Ψ=Aе-i ω t=Aе-i(px-Et)/ħ=Aе-i(kixi-k1x1)=Aе-ikμxμ

(30)

其中

i=2、3、4，μ=1、2、3、4 ，k1x1=mc2t/ħ=(mc/ħ).ct

式(30)与量子力学中的波函数数学形式完全相同。但它是物质波——场物质的涨落运动，是物理波。其中，x1=ct具有时间属性，我们定义相空间kμxμ为双4维复时空W(x,k)。

式(30)中，复相空间kμxμ即为物质波所在时空，且与场物质球模型位置矢量和曲率矢量对应，含有x，k矢量属性。相对论与量子力学也从物理模型源头就得到统一。物质波波函数Ψ(x,k)的振幅A是x,k的函数，A=A(x,k)含有微观客体的物质信息。其中x表象具有概率属性，k表象具有物质密度属性。

微观客体的自旋态描述在自身坐标系，与时空坐标x无关。自旋纯态，自旋向上、向下同时平行存在，有相干相性[18-19]。

四、双4维时空中量子概率的起源

(一)微观客体位置的不确定性

微观客体不是点，是转动场物质球，质量均匀分布，有一定的空间分布半径R，位置x有不确定性属性。不确定度D依R大小而定。质量一定，微观量子客体越小，物质密度越大，位置不确定度D越小。反之，同一微观量子客体R越大，物质密度越小，位置不确定度D越大。这是客观事实的一面，并表现在不同认知层次微观量子现象中。不确定度D定义如下：

1.R=0，质量密度η=∞，可采用质点模型，位置完全确定，不确定度D=0，微观客体在x处出现的概率为p=1；

2.R=∞，质量密度为η=0，位置x完全不确定，不确定度D=∞，找不到微观客体的存在，x处出现的概率p=0；

3.双4维时空量子力学中，场物质球有一定大小，物质密度0<η(k)<∞，位置不确定度0

微观量子客体绝对不是点，有一定的空间分布半径R，因此，微观量子客体位置x不确定是客观事实，并表现在不同认知层次的量子现象中。

上述认知，实为量子力学测不准关系△x·△p=h的物理来源。双4维时空中体现为△x=2R，△p=m0c，或R·k=1/2。R，k的取值一般为：0

经典时空，时空点具有确定性。上述微观量子客体客观上位置x的不确定，在点粒子模型量子力学中，主观上可以理解为在微观量子客体内部，位置xn上(n=1,2,3…∞)找到点粒子的可能性，可能性越大，概率越大，可能性越小，概率越小。质量一定，微观量子客体越小，场物质密度越大，找到点粒子的概率越大；微观量子客体越大，场物质密度越小，找到点粒子的概率越小；微观量子客体收缩为点，场物质密度η=∞，时空点与质点重合，找到的概率为1；微观量子客体无穷大，场物质密度η=0，找到的概率为零。

然而，在经典力学中，质点与时空点是一一对应的。将微观量子作经典粒子处理，不存在位置x的不确定性。于是，传统点粒子量子力学形成了两种主观认知路线：一是，承认空间坐标x的确定性，那么，点粒子自身就必须承担上述概率属性，于是微观量子客体就具有“天生”的运动不确定性。玻尔就是这一认知路线的代表。二是，微观客体自身没有不确定性，上述客观不确定性，赋予时空坐标，时空本身具有不确定性属性。其实，爱因斯坦就是这一认知路线的代表。爱因斯坦不承认时空具有概率属性，责任交给上帝，上帝掷骰子，但爱因斯坦又不承认上帝具有这种职能。

两种思维方式各行其事，且放在同一经典物理时空点粒子模型理论中讨论，找不到调和矛盾的逻辑起点。各种变相的点粒子模型理论替代方案争论不休，讨论仍在继续[15]。

量子力学双4维时空W(x,k)中，物理模型不是质点，是质量一定，且均匀分布的转动场物质球。W(x,k)的实部和虚部均是场物质球的映射。体现微观客体物质性基本属性。

W(x,k)中，点粒子隐藏的空间自由度，由量子曲率k取代，构成双4维量子力学时空的虚部，且与物质密度相关联，波函数的k表象具有物质密度属性；x表示微观客体位置所在，构成量子力学双4维时空的实部，且赋予x不确定属性，波函数的x表象具有概率属性。双4维时空把对微观客体的有形结构的主观认知，演变成描述量子现象的双4维时空的属性。

旋转场物质球内部类似一个旋转矢量场，有场物质的涨落运动，这个涨落运动刚好在位置不确定性范畴之内。双4维时空量子力学，将“位置不确定”“质量密度”等概念演变成时空的属性及其内部物质波的涨落运动。而局部物质波的涨落运动又通过复数变换W=1/z※，映射到外部曲率复空间全域物质波的运动。这就实现了双4维时空量子力学对微观客体量子波动现象的客观描述。爱因斯坦的上帝掷骰子和哥本哈根粒子本性不确定的主观认识都不需要，就像狭义相对论不需要洛伦兹物体运动方向长度自动收缩一样。由量子力学双4维时空W(x,k)描述微观量子现象，可以消除量子现象对主观的依赖性。

由于双4维时空中，微观客体自身具有复杂的量子化结构，量子突变使类空间隔分布其中(量子跃迁时间t=0)[20]。这里，我们无需特意将时空量子化，双4维时空的量子化是量子力学双4维时空定义与身俱来的，免除了经典时空量子化，尤其是引力时空量子化的种种困难。量子力学双4维时空已经把物质波场量子化特征作为其时空的结构性质引入其中。

双4维时空中，微观客体物质波场映射到实部出现微观客体的概率密度分布，但概率分布不等于0和1，映射到虚部形成场物质密度分布，但物质密度分布不等于0和无穷大。物质密度分布和概率密度分布还可以通过傅里叶变换进行表象变换。“物质波”可以转换成“概率波”。如何实现量子力学物质波到点粒子的概率运动，这是量子测量的任务。

概率等于1，物质密度分布等于无穷大，对应质点模型，将回到实验室观察空间点粒子呈现的概率运动现象。这是经典时空描述的对象。

宏观经典仪器由经典点粒子模型理论设计制造，负责将双4维时空中服从微观因果关系的微观量子现象，通过适当引入连续相互作用，回归到经典因果作用关系，“翻译”(转换)成宏观经典时空中的经典物理现象，显示点粒子观察结果[21]。

双4维时空把玻尔与爱因斯坦两种认知路线综合到一起，演变成双4维时空的时空属性。物质告诉时空如何具有概率属性，时空告诉物质如何作概率运动。量子现象完全得到了合理的物理描述[22]。

由于物质波是由旋转场物球的运动形成的，且在双4维时空中，而物质波的振幅A是x，k的函数，概率起源的上述定性分析可由物质波的振幅A(x，k)作出定量描述。

(二)双4维时空W(x,k)的物理性质及时空度规

矢量：K(k1,k2,k3,k4)描述微观客体自身空间结构，呈现微观客体的存在形态及物质密度分布；

矢量：X(x1,x2,x3,x4)描述微观客体位置所在，有不确定性属性(或概率属性)与微观客体空间分布及物质密度分布有关。

X、K刚好可以构成矢量复数相空间——W(x,k)空间，描述微观量子现象。

双4维复时空W(x,k)的度规张量

(31)

显然，双4维时空中，伽利略变换仍然是洛伦兹变换的特例。经典力学与量子力学的统一，通过物理模型的变化及时空度规的演变得到引领，狄拉克方程不变性也将过渡到薛定谔方程的不变性。

(三)威格纳函数方法的应用

微观客体的物质波波函数为Ψ(x,k)，是物理波，而其运动满足狄拉克方程(或薛定谔方程)。振幅A(x,k)含有微观客体的物质信息。且有变换关系

(32)

(33)

其中，Ψ(x)为位置表象，Φ(k)为物质密度表象。

对上两式进行积分运算，(32)消除变量k，物质波Ψ(x,k)映射到实部空间。得到位置表象波函数Ψ(x)及概率密度分布函数ρ(x)

(34)

归一化表示为

(35)

双4维时空中，位置x具有概率属性，ρ(x)为微观客体在x处出现的概率密度，定义Ψ(x)为概率幅可以理解。经典时空中，定义|Ψ(x)|2=ρ(x)为概率密度，水到渠成。量子测量中时空发生转换，呈现时空告诉物质如何作概率运动。

因微观客体有一定大小，因此，0<ρ(x)<1。

(33)消去变量x，物质波Ψ(x,k)映射到虚部k空间。得到曲率k表象波函数Φ(k)及物场密度分布函数η(k)

(36)

归一化表示为

(37)

微观客体场物质密度与其在位置x处出现的概率关系是：场物质密度大，概率大，场物质密度小，概率小，场物质密度均匀分布，概率均匀分布。物质告诉时空如何具有概率属性。同样，由于微观客体有一定大小，因此，0<η(k)<∞。特例为场物质密度无穷大，概率等于1，是质点，回到4维经典时空。其实，虚部k正是量子场论的波矢空间。

(3)ψ(x)与Φ(k)用傅里叶变换联系

(38)

(39)

式(38)、(39)是场物质密度与概率密度分布的表象变换。场物质密度均匀分布，概率密度均匀分布；场物质密度分布大的地方，微观客体出现的概率高；微观客体不出现的地方，场物质密度为零，概率密度也为零。量子力学中ψ(x)与Φ(p)之间的傅里叶变换有了新的物理意义。式(38)、(39)则是揭示量子概率物理来源的数学表述。双4维时空中，物质告诉时空如何具有概率属性，经过量子测量，时空告诉物质如何作概率运动。

世界著名物理学史学家、物理学哲学家曹天予教授最近明确指出，量子力学双4维时空：沿着Kaluza-Klein的传统，也是Pauli导出规范场论的传统，试图从更复杂的时空结构(双4维时空)中导出量子物理的概率特征，从而为量子物理提供一种实在论的解读。更复杂的时空结构(双4维时空)是在量子现象的概率特征的约束下建构出来的，其实在性有待证实，就像Minkowski建构的4维时空的实在性有待后续物理学的发展证实一样。所以，量子物理的出现，使我们对时空结构的丰富、复杂有了更为清晰的认识，而双4维时空的建构也使量子物理有了客观的本体论基础[22-23]。

五、量子力学普适性及量子时空的基础性问题

双4维时空中，量子力学没有普适性地位。物理时空没有优劣可分。每一种时空只能描述一定认知层次的物理现象，只要认知层次存在，对应的时空就存在，如果跨界使用就会出现认知矛盾，出现不理解，不协调。牛顿、狭义相对论、广义相对论时空、量子力学双4维时空尽管各自描述不同认知层次的物理现象，但各种时空之间也是可以通约的。在认知层次变化中，一种时空可以在特定情态下演变到另一种时空。例如，牛顿时空是狭义相对论时空的极限情态；狭义相对论时空又可看作广义相对论弯曲时空局域平直情态；量子力学双4维时空是平直时空，也可看作广义相对论弯曲时空局域平直情态。此外，量子力学双4维时空，一方面，它是狭义相对论时空的复数推广，另一方面，经典时空又是能量、动量、微观客体结构量子化趋于连续变化的极限情态。可见，时空之间是可以相互过渡的。

“过渡”并不等于物理时空可以代替使用，而是表明时空之间具有通约性。各种时空比较，因为其它时空可看作引力弯曲时空的局域情态，引力时空应该更具有基础性。量子力学不具有普适性，其时空只是引力时空的局域表现，统一场论试图将引力场量子化难以办到。双4维时空中统一场理论有新的思路。