一阶倒立摆平衡系统的控制方法研究

何思瑶 韦雪 樊雨琰 杨佩

摘要：一阶倒立摆平衡系统是一个不稳定的、多输入多输出的复杂非线性系统，一阶倒立摆的控制方法有多种不同的类型，不管是在理论还是算法上，研究此类典型倒立摆被控对象都有很重要的意义。本文对一阶倒立摆平衡控制系统中常用的PID控制方法进行了研究，并比较了PID算法参数整定中经验凑试法、专家控制法、粒子群算法、遗传算法等不同方法的特点和优劣，研究内容对工程设计具有一定的借鉴作用。

关键词：一阶倒立摆;平衡系统;控制方法;PID算法

中图分类号：TP311    文献标识码：A

文章编号：1009-3044（2020）23-0020-03

1 引言

平时常见的头顶木桩杂技表演，需要杂技演员将一根长长的木桩顶在头顶，并保持木桩竖直不倒，该杂技在实质上可认为是一个一阶倒立摆平衡系统。其中，木桩是不稳定的非线性被控对象，完全可以通过一些数学上的控制算法令其保持竖直不倒的平衡状态。这个杂技表演揭示出了自然界的一种基本规律，即当将头顶木桩杂技表演归纳为一个一阶倒立摆模型后，就可以通过数学方法同样实现杂技的表演的平衡效果。

一个一阶倒立摆平衡系统中包含两个系统平衡位置，一个是倒立摆立起保持竖直不倒时的不稳定平衡位置，另一个是倒立摆未施加任何控制力，处于下垂而保持不动的稳定平衡位置。在对一阶倒立摆进行平衡控制时，需要两个阶段，一个是施加控制力令倒立摆摆动起来以达到竖直平衡位置，另一个是在竖直位置施加控制力进一步地保持倒立摆平衡。目前，在这两个控制阶段的研究方面，已比较成熟，有很多相关论文可以查阅。这些成果基本均采用不同的控制策略和数学算法，实现对倒立摆两个控制阶段的稳定控制。

2 倒立摆介绍以及应用

从20世纪60年代起，倒立摆平衡系统的研究工作就已经开始了。一阶倒立摆平衡系统是一个不稳定的、多输入多输出的复杂非线性系统，该系统可以为控制方面的理论教学及相关课程实验提供一个理想且经典的研究验证平台，并通过该平台建立的模型来验证不同控制理论或算法的正确性和有效性，从而由倒立摆平衡系统的实例进一步在控制系统的非线性计算、稳定性分析、鲁棒性衡量、跟踪控制和随动控制等方面的问题进行深入研究。

一阶倒立摆平衡系统不但具有很好的理论研究价值，而且还具有重要的工程实用价值。对一阶倒立摆平衡系统平衡控制的研究不但能够解决控制领域中一些具有共性的理论问题和技术问题，还能够进一步地推动数学算法、力学理论和计算机技术的融合，令这些学科在交叉中创新以解决控制中的实际问题。因此，无论在理论研究方面，还是在工程實用方面，一阶倒立摆平衡系统都能够提供一个十分有价值且经典的研究应用平台，它对于学生实验和研究人员教研具有较好的启发作用，是检验不同控制理论与算法的理想实验对象。对于控制方法在工程实际中的应用而言，一阶倒立摆平衡系统同样可以提供一个切实可行的验证对象，通过将已有的各类控制理论方法应用于该对象，可以有效检验工程应用的可行性和正确性，从而实现理论与实践的统一和相互验证，降低工程应用验证的复杂度和成本。目前，倒立摆平衡系统的各种相关研究已引发的国内外控制研究机构的广泛关注，研究人员通过对倒立摆平衡系统进行平衡控制实验，来实验和检测各种新型控制算法的控制稳定性和控制效率，并通过比较不同控制方法之间的优劣，找到适合工程实际的最佳控制方法，因此倒立摆平衡系统已是控制研究领域最为热门的研究方向。

一阶倒立摆平衡系统也常被用于控制实验教学，它不但提供了可供实际操作的实践教学平台，也是将相关控制算法应用于实际的理论验证平台。在这个实践平台上，其实验的对象——一阶倒立摆是一个非线性、多变量、多扰动、强耦合的复杂不稳定系统。通过对这个系统进行深入研究，不但能够实现和验证已有经典控制理论的控制效果，还能够在现有控制理论的基础上进一步开发和创造新型控制理论和算法，以实现更高效和更稳定的控制效果，并将这些新的控制方法应用于诸如航天、钻井平台、机器人、无人控制等更复杂的实践领域。自20个世纪九十年代以来，新的控制方法不断出现，每年倒立摆控制相关方面的创新研究成果大量出现在理论研究刊物上，新型的控制设备也层出不穷，由此可见，倒立摆平衡系统无论对于控制理论研究，还是对于实际工程应用，都具有良好的研究价值，是一种理想的控制研究对象。

在工程实践方面，倒立摆控制方法主要被应用于以下几个领域。

（1）双足仿人机器人的直立行走和平衡控制，类似于双摆倒立摆平衡系统。仿人机器人虽然早在20世纪50年代就已经开始被研究，但其直立平衡行走和稳定运动的关键控制问题依然未能得到很好的解决。

（2）火箭在发射之后，必须保持直立向上的飞行姿态，这就需要使用类似于一阶倒立摆平衡系统的实时控制方法，对其进行姿态控制，以保证火箭具有稳定准确的飞行方向和状态。

（3）地球轨道上的通信卫星在近地轨道运行时，必须保持和地球具有固定的角度姿态，这也需要使用类似于一阶倒立摆平衡系统的控制方法，持续实时调整卫星的运行姿态，从而令通信卫星始终保持指向地球的方向，以保证良好的通信效果。

（4）各类运动型摄像机在拍摄照片时，必须能够克服拍摄设备在运动时的抖动，以保证清晰稳定的拍摄效果。为此也需要使用类似于一阶倒立摆平衡系统的控制方法，来保持拍摄云台姿态的稳定，有效消除摄像机的震颤和抖动，以在最大程度上提高运动摄像机拍摄图像的质量。

由于对于上述实际领域相关的控制问题都可以利用一阶倒立摆实验平台来进行模拟研究，因此一阶倒立摆平衡控制系统在诸多工程应用和理论研究领域都具有重要的实际意义。

3 一阶倒立摆平衡系统的物理模型

一个一阶倒立摆平衡控制系统的物理模型如图1所示。该模型由一个具有一定长度的平滑轨道、一个可在平滑轨道上往复运行的滑块和一个与滑块铰接的具有一定长度的直杆组成，其中滑块上的直杆可以实现竖直平面内360度的自由摆动。为了能够让滑块上的直杆通过摆动达到最终竖直向上的平衡姿态效果，就需要给滑块施加一个实时变化的驱动力F，以令滑块能够在该驱动力的控制作用下运动，以实现摆杆起摆，并保持竖直平衡的稳定控制效果。

在上述物理模型中，需要控制的物理量包括：直杆与竖直方向的夹角，滑块在导轨上的运动距离，直杆与滑块链接点的位置变化。

事实上，令直杆与竖直方向所成角度保持在一个较小范围之内变化，是一阶倒立摆保持摆杆稳定处于竖直状态的前提条件。当直杆能够保持竖直稳定状态时，该夹角必须小于5度。

4 一阶倒立摆平衡系统的控制方法

倒立摆的控制方法存在很多种类型。不管在工程上，还是在理论上，研究此类典型倒立摆被控对象都具有很重要的意义。当倒立摆系统的摆杆个数增加时，控制的难度也会成级数倍的增加。为了能够控制更复杂的被控对象，实现多阶倒立摆的稳定控制，就必须不断改进已有控制方法，甚至发明创造新的理论方法来达到提高控制能力的目的。在这方面，多阶倒立摆平衡控制模型可以提供验证复杂控制方法有效性的实验平台，为复杂控制理论研究给出明确的前进方向。

目前，按照倒立摆控制方法的难易程度，可将他们分为以下两种类型[1]。

（1）线性控制方法

倒立摆平衡系统是一个复杂的非线性系统，直接计算求解该非线性系统的难度比较大，故可以先将倒立摆原有的非线性物理模型简化近似处理，使其在控制平衡点附近变为线性模型，然后再利用已有的各种处理线性模型的控制理论方法对其求解，从而得到满意的控制结果。在线性控制方法中，PID控制方法、状态反馈控制方法、能量控制方法和线性二次调节器方法都是常用的成熟控制方法。

（2）变结构控制方法和预测控制方法

变结构控制方法是一种非连续控制方法，该方法可将受控对象从任意位置上变化到滑动曲面上，并通过消除系统震颤的处理手段，来保证控制方法的稳定性和鲁棒性。预测控制方法是一种优化控制方法，该方法的主要处理对象不是控制模型的自身结构，而是具体控制功能的优化实现。

上述控制方法虽然对于理想状态下的复杂非线性系统具有较好的控制效果，但这些方法控制过程复杂，控制成本高且控制效率较低，故对于需要实时控制的快速变化实变系统而言，却不是最佳选择。

5 PID参数整定方法对比研究

PID控制方法是目前在工程实践中被应用的最多的经典控制方法，该方法中的比例（P）、积分（I）和微分（D）三个参数的优化计算是整个控制过程中的关键问题，能否找到这三个参数合理的参数值将直接关系到最终控制效果的好坏。另外，控制器运行的稳定性、准确性和控制速度也与这三个参数有着密切的关系。

PID控制方法在20世纪50年代起就开始被应用，虽然之后各种类型的自动控制方法得到了较为广泛和深入的研究，新的控制算法也不断涌现出来，但PID方法却因其较强的实用性和稳定性，始终是工程实际中被应用的最多和最广泛的控制方法。PID控制方法在应用中的一大优势是，其在使用时不需要建立被控对象精确的物理模型，仅需要调整好P、I、D三个参数值，就可以得到较为理想的控制效果[2]。下面将对几种常用的PID参数整定方法进行对比研究。

（1）公式计算法

PID控制方法中的比例（P）、积分（I）和微分（D）三个参数与系统输入和输出之间的公式关系为：

当使用公式计算法时，需要先调节比例系数，让系统输出在某个比例系数的作用下产生周期性震荡的结果，然后再按照当前震荡周期和比例度与P、I、D三个参数之间的计算关系，得到最后的整定参数值。

（2）经验试凑法

使用經验试凑法时，需要先将P、I、D三个参数设定在某个经验值上，然后给系统施加扰动并不断改变P、I、D参数的设定值，通过记录下被控量在不同情况下的变化过程曲线，可以最终确定出P、I、D参数的整定值。

经验试凑法确定P、I、D参数的过程包含两种不同的步骤顺序：第一种以比例作用作为控制的基础，在参数整定过程中需要先试凑比例度，当调节好的比例度能够令输出保持稳定震荡之后，再加入积分系数调节环节，来消除控制系统中的静差，如果控制效果仍不够理想的话，最后再加入微分系数调节环节，以提高控制系统的最终实时控制效果。第二种以积分作用作为控制的基础，在参数整定过程中需要先试凑积分时间，然后按照由大到小的方式不断试凑与该积分时间匹配的比例度，以获得符合要求的系统输出变化结果。

（3）专家控制法

专家控制法利用包含着大量规律和经验的专家系统来实现P、I、D参数的整定效果，该专家系统是一类包含着知识和推理的智能计算机程序，它能够利用人们在工程实践中获得的大量宝贵经验来提供P、I、D参数的整定值。

专家控制法通过已得到的控制规律和控制经验，以智能化的方式将PID参数的整定过程与专家系统中的控制规律进行匹配，并最终根据专家经验得到最佳或最符合当前实际情况的PID整定参数。专家系统的建立是一个长期的自主学习的过程，它具有仿人智能化控制的特征和功能。随着工程经验的增加和大数据技术的成熟，越来越丰富的专家经验被添加到专家系统库中，用该方法进行PID参数整定也越来越具有简单实用的效果。需要说明的是，与任何专家计算系统的应用方式相同，专家控制法的应用过程也由知识库、推理机、匹配识别和结果判定等部分组成。

（4）粒子群算法

1995年，Kennedy和Eberhart等人提出了一种新的数值演化算法——粒子群算法[3]。该方法通过模拟鸟群在觅食和迁徙过程中个体、群落和环境之间的关系，来得到最后的最佳计算结果。粒子群算法目前已被广泛应用于优化算法、神经网络算法、模糊控制算法中的学习训练环节。它与大部分的演化算法相同，都要基于群体演化过程进行迭代计算，计算时单个粒子在解集空间内不断迭代寻找最优值，使得所有参数或变量集体向着最优方向进行演化。

（5）遗传算法

遗传算法是一种优化计算方法，它由美国密歇根大学的J.Holland教授于1975年首次提出，该优化计算方法通过模拟自然界中染色体的选择和进化过程来完成最优解的搜索任务。由于染色体的选择和进化过程是以达尔文进化论中的自然选择和遗传学说作为理论基础的，故这种优化算法被称为遗传算法[4]。

遗传算法不需要进行优化梯度计算即可进行全局寻优，故它适用于各类复杂非线性优化问题的求解场合，并具有良好的适应性和鲁棒性[5]。由于该算法全局寻优过程中花费的时间成本较高，故其主要缺点是优化效率较低，但随着计算机存储空间和计算速度的提高，该缺点已不再成为主要问题。

当使用遗传算法进行PID参数整定时，基于遗传算法的应用步骤，需要先将P、I、D三个参数变为算法中的染色体变量，并将控制目标设定为遗传算法中相应的进化适应度，通过遗传算法的全局寻优计算，最终可以得到最佳的控制参数整定值。由于遗传算法不需要系统精确数学模型的梯度信息，只需根据遗传规律进行进化寻优，故该方法非常适用于一阶倒立摆这样复杂非线性系统的PID参数整定过程。

6 结论

一阶倒立摆的控制方法有很多种，不管在工程上，还是在理论上，研究此类典型倒立摆的控制方法都具有十分重要的意义。本文对常被用于一阶倒立摆平衡控制系统中的PID控制方法进行了研究，并对其应用于一阶倒立摆平衡系统时的各种参数整定方法进行了对比，本文研究内容对一阶倒立摆平衡系统的研制具有较好的工程指导作用。

参考文献：

[1] 薛安客， 王俊宏. 倒立摆控制仿真与实验研究现状[J]. 杭州电子工业学院学学报， 2002， 21（6）： 25-27.

[2] 蒋尉孙， 俞金寿. 过程与控制[M]. 北京： 北京化学工业出版社， 1992.

[3] 王介生， 王金城， 王伟. 基于粒子群算法的PID控制器参数自整定[J]. 控制与决策， 2005， 20（1）： 73-76， 81.

[4] 徐征. 基于遗传算法的PID控制器参数寻优方法的研究[D]. 武汉： 武汉大学， 2004.

[5] 金传伟.基于遗传算法的PID参数优化与仿真[J].微计算机信息，2002，18（7）：72-73.

【通联编辑：梁书】