有限群的非交换主因子

2020-09-27鲍宏伟高百俊

吉林大学学报（理学版） 2020年5期

鲍宏伟, 高百俊, 张佳

(1. 蚌埠学院理学院, 安徽蚌埠 233030； 2. 伊犁师范大学数学与统计学院, 新疆伊宁 835000；3. 西华师范大学数学与信息学院, 四川南充 637009)

1 引言与预备知识

本文所有的群均为有限群, 所用术语和符号可参见文献[1-2]. 特别地, |G|表示群G的阶,p表示|G|的奇素因子, |G|p表示|G|的p-部分. 当T≤G时,TG表示T在G中的柱心, 即其为包含在T中G的极大正规子群.M<·G表示M是G的一个极大子群,pU表示所有p-超可解群构成的群类.

目前, 关于有限群的研究已取得了许多结果[3-7]. Vdovin等[8]研究了包含Hall子群的有限单群的一些性质, 即Eπ-群、Cπ-群和Dπ-群; Monakhov等[9]使用p-阶可补子群研究了群的合成因子; Ballester-Bolinches等[10]利用G群中p′-子群H的可置换性研究了HG的主因子; Miao等[11]通过分析G的合成因子结构, 证明了G是可解的当且仅当G的Sylow 3-子群、 Sylow 5-子群和Sylow 7-子群在G中是可补的; 文献[12]考虑了一类非可解群与M-可补子群之间的关系; 文献[13]介绍了弱M-可补子群的概念, 推广了M-可补子群[14]和c-正规子群[15]的概念, 并得到了一些关于可解群结构的新刻画.

6下面给出一个关于非可解群主因子结构的实例：考虑群T=C25×C25×C25×C25×C25和G=[T]S5, 是25阶循环群和5阶对称群的圈积. 则G的每个主因子A/B都满足下列条件之一：

1)A/B≤Φ(G/B);

2)A/B是5′-群；

3) |A/B|5=5.

定义1[13]设T是群G的子群, 如果存在G的子群B, 使得:

1)G=TB;

2) 若T1/TG是T/TG的极大子群, 则T1B=BT1

则称T是群G的弱M-可补子群. 这里TG是T在G中的柱心.

本文利用奇素数阶的弱M-可补子群给出群主因子的一些新刻画, 并确定群非交换主因子的分类.

引理1[11]设G是有限群, 则：

1) 若T在G中弱M-可补,T≤M≤G, 则T在M中是弱M-可补的；

3) 令π是一个素数集, 设K是G的正规π′-子群, 且T是G的π-子群, 若T在G中弱M-可补, 则TK/K在G/K中弱M-可补；

4) 设R是G的可解极小正规子群,R1是R的极大子群, 若R1在G中弱M-可补, 则R是素数阶循环群；

5) 设p是|G|的素因子,P是G的p-子群, 若P在G中弱M-可补, 则存在G的子群B, 使得对于P的任意包含PG的极大子群P1, 有|G∶P1B|=p.

引理2[16]设T≤G, 且Ω为T在G中的右陪集, 则G/TG同构于Sym(Ω)的一个子群. 特别地, 如果|G∶T|=n, 则G/TG同构于Sn的一个子群.

引理4[17]设N是群G的一个非平凡可解正规子群, 如果N∩Φ(G)=1, 则N的Fitting子群F(N)是G的包含在N中极小正规子群的直积.

引理5[1]设K和N是群G的正规子群,N≤K且K是幂零的, 如果K/N≤Φ(G/N), 则K≤Φ(G)N.

引理6[18]设p是素数,E是群G的正规子群,p整除|E|,P是E的一个Sylowp-子群. 如果p阶或4阶(若p=2或P是非交换的)P的每个循环子群在G中都是Π-正规的, 则E≤ZpU(G).

引理7[9]设G不是p-可解群,p∈π(G). 如果任意p阶子群在G中可补, 则G非交换的pd-合成因子A/B同构于下列群之一：

1)A/B≅PSL(2,7)且p=7；A/B≅PSL(2,11)且p=11；

2)A/B≅PSL(2,2t)且p=2t+1>3是Fermat素数；

3)A/B≅PSL(n,q),n是大于2的素数, (n,q-1)=1且p=qn-1/q-1；

4)A/B≅M11且p=11；A/B≅M23且p=23；

5)A/B≅Ap且p≥5.

引理8[12]设P是群G的一个Sylowp-子群,p∈π(G). 假设1

1)A/B≅PSL(2,7)且p=7；A/B≅PSL(2,11)且p=11；

2)A/B≅PSL(2,2t)且p=2t+1>3是Fermat素数；

3)A/B≅PSL(n,q),n是大于2的素数, (n,q-1)=1且p=qn-1/q-1；

4)A/B≅M11且p=11；A/B≅M23且p=23；

5)A/B≅Ap且p≥5.

2 主要结果

定理1设H是G的正规子群,P是H的Sylowp-子群, 其中p是|H|的奇素因子. 如果P的每个极小子群(H∈Ep′,P的每个极大子群)在G中是弱M-可补的, 则H中的每个非交换pd-合成因子A/B都满足引理8中的条件1)～5)之一.

证明：用极小阶反例法. 假设结论不真, (G,H)为满足条件且|G||H|为极小的反例. 显然, 因为p-可解群的pd-合成因子都是交换的, 且是p阶的, 所以H是非p-可解群. 若Op′(H)≠1, 则由引理1可知, 商群G/Op′(H)满足假设条件. 因此, 由极小阶反例知,H/Op′(H)中的每个非交换pd-合成因子都满足结论. 进而,H中的每个非交换pd-合成因子都满足结论, 矛盾. 因此,Op′(H)=1. 下面分两种情形证明.

情形1)P的每个极小子群在G中都是弱M-可补的.

如果P的每个极小子群L都是G的正规子群, 则由引理6知(G,H)成立, 矛盾. 如果P的每个极小子群L都在G中可补, 则由引理7知(G,H)成立, 即H中的每个非交换pd-合成因子都满足结论, 矛盾. 下面选择G的极小子群R. 根据假设,R在G中可补, 并且存在G的极大子群M, 使得G=RM,R∩M=1. 此外, 由引理2知,G/MG同构于Sp的一个子群.

如果MG=1, 则G同构于Sp的一个子群. 由于Sp的每个Sylowp-子群都是p阶的, 且在Sp中可补, 因此由引理7知,G的每个Sylowp-子群及H的任一非交换pd-合成因子A/B必满足上述条件之一, 矛盾. 如果MG≠1, 则

H/H∩MG≅HMG/MG≤G/MG

同构于Sp的一个子群. 由于H∩MG≤H, 由(G,H)的选择可知(G,H∩MG)满足假设, 且H∩MG的每个非交换pd-合成因子都满足上述条件之一. 因此, 由引理8可知,H/H∩MG任一非交换pd-合成因子都满足上述条件之一. 从而H的任一非交换pd-合成因子都满足上述条件之一, 矛盾.

情形2)P的任一极大子群在G中弱M-可补且H∈Ep′.

由引理8可知,Ep′-群集合对于正规子群、商群是封闭的.

定理2设H是G的正规子群,P是H的一个Sylowp-子群,p是|H|的奇素因子. 如果P的任一极大子群在G中弱M-可补, 则H中的每个G-主因子A/B都满足下列条件之一：

1)A/B≤Φ(G/B)；

2)A/B是p′-群；

3) |A/B|p=p.

证明：用极小阶反例法. 假设结论不真, (G,H)为满足假设且|G||H|极小的反例. 下面分两种情形讨论.

情形1)Op(H)=1.

如果H∩T=1, 则由H≅HT/T≤G/T同构于Sp×Sp×…×Sp的一个子群易得矛盾. 下面假设H∩T≠1. 如果|(H∩T)p|<|P1|, 则存在P的极大子群U, 使得(H∩T)p

U=(H∩T)pU1,

G=US=(H∩T)pU1S=U1S,

矛盾. 此外, 根据引理1,U∩(H∩T)≤Φ(U)且H∩T是p-幂零的. 如果(H∩T)p′≠1, 则由引理1中3)及(G,H)的选择可知, (G/(H∩T)p′,H/(H∩T)p′)成立, 从而(G,H)成立, 矛盾. 因此,H∩T是一个p-群, 其与Op(H)=1和H∩T≠1矛盾. 如果|(H∩T)p|=|P1|, 则存在P的极大子群X, 使得X≤T. 因为X在G中M-可补, 从而存在G的子群K, 使得G=XK, 且对X的任一极大子群Xi, 都有XiK

X≤T,X≤(XiK)G≤XiK,XiK=G,

与XiK

情形2)Op(H)≠1.

假设Op(H)∩Φ(G)≠1, 则在Op(H)∩Φ(G)中存在G的极小正规子群R. 如果|R|=|P|, 则H/R是p′-群, 从而(G,H)成立, 即H中的每个G-主因子都满足结论, 矛盾. 因此|R|<|P|, 并且存在P的极大正规子群P1, 使得R≤P1. 由引理1中2)及(G,H)的极小性可知, (G/R,H/R)成立. 又因为R≤Φ(G), 所以H中的每个G-主因子都满足结论, 矛盾.

下面假设Op(H)∩Φ(G)=1. 若Φ(Op(G))≠1, 则由引理4可知, 对G包含在Op(H)中的极小正规子群L1,…,Lt,Op(H)=L1×…×Lt.

断言Op(H)是G的极小正规子群. 否则, 可选择G包含在Op(H)中两个不同的极小正规子群L1和L2, 由引理1中2)及(G,H)的选择可知, (G/Li,H/Li)(i=1,2)成立. 如果L1L2/L2≤Φ(G/L2), 则由引理5可得L1L2≤Φ(G)L2. 因为L1L2≤Op(H), 所以

L1L2≤Op(H)∩Φ(G)L2=(Op(H)∩Φ(G))L2=L2,

矛盾. 由L1≤Op(H)和L1≅L1L2/L2知, |L1|=p, 从而(G,H)成立, 即H中的每个G-主因子都满足结论, 矛盾.

矛盾. 因此(P2)G=1. 由假设知,P2在G中M-可补, 从而存在G的子群K2, 使得G=P2K2, 且有WK2

由定理1和定理2, 可得本文的主要结果：

定理3设H是G的正规子群,H∈Ep′,P是H的Sylowp-子群, 其中p是|H|的奇素因子. 如果P的每个极大子群都在G中是弱M-可补的, 则H中的每个非交换pd-G-主因子A/B都满足引理8中的条件1)～5)之一.

推论1设G是p-可解群,P是G的Sylowp-子群, 其中p是|G|的奇素因子. 如果P的每个极大子群在G中都是弱M-可补的, 则G∈pU.

推论2设E是G的p-可解正规子群,P是E的Sylowp-子群, 其中p是|E|的奇素因子. 如果P的每个极大子群在G中都是弱M-可补的, 则

E/Op′(E)≤ZpUΦ(G/Op′(E)).

定理4设E是G的正规子群,P是E的Sylowp-子群, 其中p是|E|的奇素因子. 如果P的每个极小子群在G中都是弱M-可补的, 则E中的每个G-主因子A/B都满足下列条件之一：

1)A/B是p′-群；

2) |A/B|p=p.

证明：假设结论不真, 且对于|G||E|极小的(G,E)为极小阶反例. 设δ={M<·G| |G∶M|=p}, 对任意M∈δ,T=∩MG. 下面分3种情形证明.

情形1)P中任一极小子群L在G中正规.

如果P中任一极小子群L在G中正规, 则由引理6知(G,E)成立, 矛盾.

情形2)P中任一极小子群L在G中可补.

如果P中任一极小子群L在G中可补, 则存在G的子群M, 使得G=LM,L∩M=1. 根据引理2,G/T同构于Sp×Sp×…×Sp的子群. 如果T=1, 则由引理2知,E同构于Sp×Sp×…×Sp的一个子群, 从而(G,E)成立, 矛盾. 因此T≠1.

断言E∩T≠1. 否则,E∩T=1, 且E≅ET/T≤G/T同构于Sp×Sp×…×Sp的子群, 矛盾. 进一步, 断言E∩T是一个p′-群. 否则存在包含于P中E∩T的子群H, 其中|H|=p. 根据假设, 存在M1∈δ, 使得G=HM1=M1, 矛盾. 由引理1中3)知, (G/(E∩T)p′,E/(E∩T)p′)成立, 从而(G,E)成立, 矛盾.

情形3) 存在P的一些极小子群在G中正规, 且其他子群在G中可补.

根据情形1)和情形3)的假设, 显然E∩T

如果E∩T=1, 则E≅ET/T≤G/T同构于Sp×Sp×…×Sp的子群, 矛盾. 假设1

由定理1和定理4可得：

定理5设H是G的正规子群,H∈Ep′,P是H的Sylowp-子群, 其中p是|H|的奇素因子. 如果P的每个极小子群在G中都是弱M-可补的, 则H中的每个非交换pd-G-主因子A/B都满足引理8中的条件1)～5)之一.

推论3设G是p-可解群,P是H的Sylowp-子群, 其中p是|H|的奇素因子. 如果P的每个极小子群在G中都是弱M-可补的, 则G∈pU.

推论4设E是G的p-可解正规子群,P是E的Sylowp-子群, 其中p是|E|的奇素因子. 如果P的每个极小子群在G中都是弱M-可补的, 则E/Op′(E)≤ZpU(G/Op′(E)).