借助几何画板促进学生数学核心素养的发展

■天津市咸水沽第三中学 张宗玲

2014 年教育部发布的《关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》要求，把核心素养落实到学科教学中去，促进学生全面而有个性的发展。《数学课程标准》中明确提出，信息技术的发展对中学数学教育的价值、目标、内容以及教学方式等多方面都具有很大的作用。数学课程的设计与实施，应根据实际情况合理地运用现代信息技术，要注意信息技术与课程内容的整合，注重实效性。在课堂教学中怎样运用信息技术，以数学核心素养为主线，将课程内容有效地落地，并从数学基础知识落实中揭示知识背后的数学思想方法，再进一步提升学生的数学核心素养，这是我们一线教师不断研究的问题。本文主要浅谈一下几何画板在学生数学思维形成中的作用。

一、纵向拉伸学生的思维，提升学生的数学抽象能力

根据《数学课程标准》要求在课堂教学中促进学生数学核心素养的形成和发展。这就要求教师要结合具体的教学内容，寻找具体有效的教学方法和策略，使学生达到相应水平的要求。数学内容中的数学概念部分的教学，要讲清楚其内涵和外延，而有些内容对于内涵的诠释用语言描述清楚比较费时费力，有些学生很难想象出来，可这些内容又是有助于学生纵向思维拉伸的关键点，这就需要借助于信息技术的介入，帮助学生提升思维的空间，起到事半功倍的作用。

例如：在反比例函数的图象和性质这一节课中，对于图象的画法以及图象形成的过程，由于学生前面已经学过一次函数和二次函数，学生对函数的作图步骤已经很清楚，但是由于前面两种函数的自变量取值范围是全体实数，决定了函数图象的连续性，或一条直线或一条曲线。但反比例函数y=k/x（k≠0）的自变量取值范围为x≠0，这样就决定了函数图象是间断的、不连续的，与x轴和y轴的关系是怎样的呢？这就需要学生的想象力来支撑。但对于初中学生来说，由于前面知识的负迁移，很容易产生思维障碍，出现各种问题：画成折线、画成连续的、画成与x轴、与y 轴相交的……而利用几何画板的点追踪和图象的无限性，将无数点的发展趋势很直观地展现出来，将图象的无限趋近于x 轴或y 轴，但不与之相交，让学生很清晰地有了认识。这就是信息技术的强大功能，填补了思维能力较难达到的空白，助推了学生的思维向前迈了一步，使学生的空间观念和抽象思维建立起完整的构架。

二、横向拉伸学生的思维，提升对几何直观和空间想象能力

数学是一门培养学生思维能力的学科，在课堂教学中经常需要一题多变，一题多解来促进学生思维的横向发展。对于数学题目之间的发展的内在联系，要依靠学生的想象力去发现其内在的联系与规律，但是，有些规律比较隐蔽，学生单靠想象力是难以达到的，初中学生具有依靠直观性来发展思维能力的特点，因此，就需要信息技术的力量将抽象的问题具体化，直观化，加速学生观察图形、理解数学本质的步伐。

问题1：已知等边△ADE 和等边△ABC，如图1，当点A、C、D三点共线时，探究下列问题：有几对全等三角形？还有什么结论呢？如果将三角形旋转就可以得到图2情形下，图1中发现的结论是否还成立？

图1

图2

利用几何画板的度量功能可以度量出相关的角度，度量相关线段长度，验证线段关系的成立，从而可以验证学生观察、猜想出的结论的正确性，增强了学生继续研究问题的信心，对学生的数感、几何直观的培养都起到了很好的作用。还可以利用几何画板的填充功能将全等三角形或等边三角形很清晰地展现在学生的面前，可以帮助学生比较直观地理解数学问题，把复杂的问题简单化、形象化，有利于解决问题的思路探索，有助于学生对数学问题的几何直观能力和思维能力的提升。

为了进一步提升学生的数学思维，将问题深入探究下去，进而更加接近数学本质的东西，因此，将本题的数学背景图形进行改变。

问题2：将原来题目中的等边三角形改成等腰直角三角形，如图3，上述问题的结论，哪些依然成立？当△ADE 绕点 A 旋转至图 4 时，连接 CE、BD 相交于点F，连接FA。问：图3中的结论还成立吗？如果成立，请说明理由。

图3

图4

利用几何画板将上述问题动起来，从两个等边三角形的特殊位置，到旋转过程中的一般位置；从等边三角形变形为等腰直角三角形的特殊位置，再到旋转过程中的一般位置，让学生充分观察图形之间的联系，充分体验图形变化过程中，数学问题的神奇变化，学生去猜测、思考图形在变化过程中不变因素和变化的因素。在这一探究中充分体现出信息技术的优势，使得数学问题中抽象，难以想象的问题，通过几何画板的强大功能，变得容易理解、容易想象了。这也符合初中学生的心理发展的特点，借助直观发展想象。经过几何画板的助力，让学生的思维不仅增加了宽度，而且拉伸了深度，提升了学生认识数学和理解数学的思维特征——数学思维素养。

三、揭示数学的内在本质，提升学生的空间观念

在解决数学问题过程中，经常会遇到有一类题无论怎样冥思苦想，都很难发现解决问题的途径。而直观想象是依靠几何直观和空间想象感知事物的形态和变化，利用图形的直观性来理解和解决数学问题的思维过程。一个数学问题，只有当把这个数学问题的直观含义和思路想明白，才能真正解决。因此，借助于信息技术诠释数学问题的内涵，揭示其内在的规律，是教师要用心挖掘的问题。

如图5，已知等边三角形ABC，边长为a，点P 为边BC上的点，点M为直线AC上的动点，∠MPN=90°，PM=PN，求BN的最小值。

图5

图6

这个数学问题是求线段最小值的问题，运用最短原理去探讨最小值，关键是点N 的轨迹是什么不好想象，几何画板的点追踪问题将此题中的本质展示出来（如图6），点N的运动轨迹是一条垂直于直线AC的直线，点B到轨迹直线的最小距离就是垂线段（垂足为N）BN的长度。

诸如这一类的问题，都可以用几何画板探究数学问题内在所蕴含的规律，揭示事物的本质，同时也拓展了学生思考问题的方法，将最值问题又可以提升出一种方法，点B 是固定点，点M 为直线上的动点，在三角形PMN形状不变的条件下，考虑点N的运动轨迹是什么图形，当思维发展到这里，就抓住了解决问题的关键。几何画板恰恰弥补了思维有些难以达到的不足，有效地解决数学教学中学生思维障碍，将问题真相展示在学生面前，将学生的直观想象和空间观念又提升了一个高度，这就是信息技术为数学课堂教学带来的惊喜。

课堂是培养学生数学核心素养的主渠道，数学核心素养的培养不是一蹴而就的，而是经过长期的积累才能达到的。尤其在课堂中运用信息技术为学生搭建思维平台，用信息技术助推思维向深、向宽两个方面发展，基于信息技术提升学生数学核心素养是近几年教育教学中不断研究的课题，教师对信息技术的有效运用，使得学生在掌握知识的同时，更加关注依附在知识之上的数学思想方法，最终实现学生的核心素养的提升，也是今后数学教学中恒抓不懈的课题。