城市轨道交通环线投资决策模型及社会福利分析①

程 立， 李志纯

(华中科技大学管理学院， 武汉 430074)

0 引 言

近年来，经济的迅速增长和城市化进程的加快促使我国城市人口规模不断扩大.以北京市为例，根据《北京市2017年国民经济和社会发展统计公报》[1]的数据，截至2017年年底，北京市常住人口为2 170.7万，比5年前(即2012年)增加约100万；全市机动车保有量584.8万辆，2012年为520万辆，5年增加约65万辆.交通需求的迅猛增长，给现有的交通基础设施带来了巨大压力，交通供需不平衡的矛盾日益尖锐，城市交通拥挤和雾霾现象日趋严重，在一定程度上制约着城市经济的可持续发展.

为应对城市扩张带来的日益严峻的交通和环境问题，地方政府大力发展城市轨道交通投资项目.例如，截至2017年年底，北京市开通轨道交通线路22条，总里程达608 km，轨道交通线路网络形成环形放射状结构，其中地铁2号线和10号线为环形线路，里程分别为23.1 km和57.1 km.2017年12月，成都市开通了地铁7号线，是该市首条地铁环线，全长38.61 km.

轨道交通环线的投资建设对提高城市交通网络的可达性水平有重要的作用，从而减少现有设施的交通压力和环境污染，同时带来周边土地增值.但环线投资建设需要巨大的投资成本.例如，北京地铁10号线每公里造价约5亿元.如果投资的环线数目过多或位置不合理，环线的通行能力得不到充分利用，结果导致资源浪费.如果环线数目投资过少，则满足不了日益增长的交通需求，对缓解城区的交通压力效果甚微.对环线投资成本和收益的权衡，提出了一些有趣而重要的问题：一个城市应当建设多少条轨道交通环线最合理？环线应建在什么位置？环线投资建设如何影响城市居民住宅选址和城市房价？本文将回答这些问题.

文献中，D’Este[2]研究了二维放射状城市中通勤者的出行路径选择问题.Wong[3]进一步将D’Este提出的模型表示为数学规划问题.Li等[4]研究了二维单中心城市放射状主干道密度优化问题.Li和Wang[5]进一步研究了多方式二维单中心放射状城市系统均衡问题，并对拥挤收费和巴士服务进行设计.但这些研究考虑的是放射状城市结构，而没有涉及到环路或环线投资优化问题.Saidi等[6]研究了二维环形放射状城市的公交环线投资问题，他们假设城市边界是给定和固定的，人口均匀分布且城市完全对称，也没有考虑公交拥挤带来的负效应以及环线投资建设对城市居民重新分布和城市空间结构(住房市场)的影响.本文将放松这些假设，研究一般环形放射状城市中轨道交通环线位置、环线数目和轨道交通线路车辆发车频率联合优化问题，建立的模型可以内生城市居民分布和住房市场结构，也考虑了轨道交通环线投资对城市居民重新分布和城市规模的外部性影响.

1 基本假设

为建立模型的需要，文中做如下假设：

A1假设城市系统是封闭单中心的，城市的总人口给定，所有的工作机会集中在中心商业区(CBD).假设现有的城市轨道交通网络呈放射状结构，政府需要对环线投资进行决策，所有的轨道交通环线是以CBD为中心的圆.假设城市所有土地由系统外的地主拥有，城市边界上的土地价值等于土地的机会成本(即农业地租).在城市经济学领域，这些假设是最基本的假设，见文献[7～10].

A2城市系统有4类参与者：政府、城市居民、地产开发商和通勤者.他们有各自的决策变量和目标：政府优化城市轨道交通环线的位置和数量、轨道交通发车频率，以便实现城市系统社会福利最大化.地产开发商通过决策住房供应量来最大化自己的净利润.假定所有的房地产开发商通过柯布-道格拉斯函数来确定住房供应量(见文献[11, 12]).交通出行者(通勤者)选择从居住地至CBD(工作地)的最短路线出行[13].

A3城市居民具有同质属性，即具有相同收入水平和效用函数.假定家庭的收入用于三方面：住房消费、非住房商品消费和交通费用.每个家庭在其收入约束下，通过选择居住地位置、住房面积和非住房商品的消费数量来最大化家庭的效用[7～10].

A4工作是一种强制性活动，每个家庭的平均劳动力数量外生给定，可以通过人口调查数据得到，文中用η表示.假定每位通勤者每天在居住地与CBD(工作地)之间往返一次.因此，每个家庭前往CBD的日均旅行次数为η.为叙述方便，不少相关研究假定每个家庭仅有一个劳动力[14～16].

A5放射状主干线和环线构成城市轨道交通系统骨架，其通行能力大，承载大量的交通流量，具有拥挤效应.城市内部为稠密的辅路，其通行速度低，交通量小，拥挤效应可以忽略.

图1 (x,θi)处居民的路线选择Fig.1 Route choices of residents at (x,θi)

2 城市系统均衡

根据假设A2，城市系统中有4类参与者，即政府、居民、地产开发商和通勤者.这些参与者有各自的决策变量和目标，这些决策不是独立的，而是相互影响的，共同构成相互作用、相互关联的均衡问题，包括通勤者出行路线选择均衡、居民住宅区位选址均衡和住房市场供需均衡.

2.1 通勤者出行路线选择均衡

2.1.1 出行成本

如图1所示，使用极坐标(x,θi)表示城市居民居住位置，其中i表示第i条径向(或放射状)轨道交通主干线，x表示位置(x,θi)到CBD的距离，θi表示该位置与主干线i之间的夹角.假设城市中已有MRAD条主干线(不一定均匀分布)，下标“RAD”表示主干线(radial lines).政府计划未来修建MRIN条轨道交通环线，下标“RIN”表示环线(ring lines).通勤者从居住地(x,θi)出发前往CBD，有多条路线可供选择：先沿圆弧到达主干线，然后沿主干线到达CBD；或者先到达紧邻的环线，然后沿着环线到达主干线，最后沿着主干线到达CBD.对居住地(x,θi)的居民，有6条备选路线，见表1.

表1 从居住地(x,θi)到达CBD的备选路线集

为定义备选路线的旅行成本，先定义路段a至f′的旅行成本.注意到路段a、b、c和c′为辅路，由假设A5，辅路不拥挤，采用的交通工具为自行车或步行等慢行方式.令Ca(x,θi)、Cb(x,θi)、Cc(x,θi)和Cc′(x,φi-θi)分别为(x,θi)处的通勤者在路段a、b、c和c′的旅行成本，定义为

(1)

其中Rj为环线j的半径，Vw为辅路上的旅行速度，α1为辅路旅行时间价值，φi为主干道i与i+1之间的夹角.

路段d为环线j上的路段，具有拥挤效应，即随着交通量的增加，旅行成本增加.令Cd,j(Rj,θi)为通勤者在路段d的旅行成本，由等车时间、车内行驶时间和车内拥挤成本构成，表示为

(2)

其中fRIN, j为环线j的发车频率，γ/fRIN, j为平均等车时间，γ为参数.VRIN, j为环线j的车辆速度.α2为等车时间价值，α3为车内时间价值.HRIN(Rj,θi)表示从位置(Rj,θi)沿环线j行驶距离Rjθi到达主干线i的车内拥挤成本，α4为对应的折算系数.HRIN(Rj,θi)定义为

(3)

其中tRIN, j为环线j上车辆行驶单位距离的时间，Q(Rj,θi)为(Rj,θi)处的累积乘客数.h(Q(Rj,θi))为(Rj,θi)处地铁车内单位时间的拥挤成本，定义为

(4)

其中δ1和δ2为常数，Cv为轨道交通车辆的容量.

类似地，可以定义环线j+1上路段e的旅行成本Ce, j+1(Rj+1,θi)，只要将Rj+1替代Cd,j(Rj,θi)中的Rj即可.此外，也可以定义环线j和j+1上路段d′和e′的旅行成本Cd′,j(Rj,φi-θi)和Ce′, j+1(Rj+1,φi-θi).只要将φi-θi替代Cd,j(Rj,θi)和Ce, j+1(Rj+1,θi)中的θi即可.

路段g为主干线i上的路段，具有拥挤效应.令Cg,i(x)为居住地(x,θi)的通勤者沿主干线i的路段g的旅行成本.它由等车时间、车内行驶时间和车内拥挤成本构成，定义为

(5)

其中fRAD, i为主干线i的发车频率，VRAD, i为主干线i的车辆速度.HRAD, i(x)为主干线i上距离CBD为x的位置到达CBD所承受的车内拥挤成本，定义为

(6)

式中tRAD, i为主干线i上车辆行驶单位距离的时间，Qi(x)为主干线i上与CBD距离为x的位置的累积乘客数.h(Qi(x))为主干线i上x处地铁车内单位时间的拥挤成本，定义为

(7)

类似地，可以分别定义主干线i上路段f和h的旅行成本Cf,i(Rj)和Ch,i(Rj+1)，以及主线i+1上路段f′、g′和h′的旅行成本Cf′,i+1(Rj)、Cg′,i+1(x)和Ch′,i+1(Rj+1).

基于上述路段成本的定义和表1，备选路线1～路线6的旅行成本定义如下

(8)

为方便叙述，定义相邻的主干线i和i+ 1，及相邻的环线j和j+1围成的区域为ij.表2给出了出行成本关于θi和位置x的比较静态分析.它表明：在区域ij内，随着与第i条主干线夹角θi

表2 出行成本的比较静态分析

2.1.2 出行路线覆盖区域

假定所有通勤者选择出行成本最小的路线出行.令ψmin(x,θi)表示从位置(x,θi)到CBD的最小成本，即

ψmin(x,θi)=min{ψl(x,θi),l=1,…,6}

(9)

图2 路线选择均衡下的区域划分

表3 路线选择均衡条件

2.1.3 主干线和环线上任一位置的交通需求

定义q0(x,θi)为(x,θi)处每小时的潜在交通需求，η为每个家庭前往CBD的日均旅行次数，ξ为高峰时段交通量因子，即高峰时段的车流量占全天车流量的比例.q0(x,θi)可以表示为

q0(x,θi)=ξηn(x,θi)=λn(x,θi)

(10)

其中λ=ξη表示每个家庭在高峰时段前往CBD的平均出行次数，n(x,θi)为(x,θi)处的居住密度，即单位面积的家庭数量.

实际中，轨道交通需求依赖于轨道交通服务水平.为此，引入指数弹性需求函数

q(x,θi)=q0(x,θi)exp(-ωψmin(x,θi))

(11)

其中q(x,θi)为实际交通需求，ω为需求对轨道交通通勤费用的敏感性参数.

下面定义环线上的交通需求.令Q(Rj,θi)表示环线j上与主干线i夹角为θi的位置(Rj,θi)的交通需求.由图1，(Rj,θi)可能落在d上，也可能落在d′上.若落在d上，由图2，可知(Rj,θi)处的交通需求等于来自区域ij中的Iij和区域i(j-1)中的IIi(j-1)与θ≥θi共同构成区域上的累积需求；若落在d′上，则(Rj,θi)处的交通需求等于来自区域ij中的IVij和区域i(j-1)中的Vi(j-1)与θ≤θi共同构成区域上的累积需求.因此，Q(Rj,θi)可表示为

(12)

(13)

其中j=0表示CBD.Q(Rj,φi-1)表示相邻区域IV(i-1)j和V(i-1)(j-1)通过环线j经由主干线i到达CBD的累积需求.Q(Rj,0)表示相邻区域Iij和IIi(j-1)通过环线j经由主干线i到达CBD的累积需求.Q(Rj,φi-1)和Q(Rj,0)可分别通过令式(12)中的θi=φi-1和θi=0计算得到.

2.2 住房市场均衡

2.2.1 家庭住宅区位选址行为

假定家庭的效用函数为拟线性函数形式[17,18]，即

U(x,θi)=z(x,θi)+αlng(x,θi),α>0

(14)

其中U(x,θi)为(x,θi)处的家庭的效用函数，z(x,θi)为(x,θi)处的家庭的非住房商品消费，其价格标准化为1，g(x,θi)为(x,θi)处的家庭的住房消费.

由假设A3，每个家庭在其收入预算约束下，通过选择居住地位置、住房面积和非住房商品的消费来最大化家庭的效用.家庭效用最大化问题可表示为

(15)

s.t.z(x,θi)+p(x,θi)g(x,θi)=Y-E(x,θi)

(16)

其中p(x,θi)为(x,θi)处的单位住房面积的房价，Y为家庭的年收入，E(x,θi)为(x,θi)处的家庭平均每年的交通费用，表示为

E(x,θi)=2ρψmin(x,θi)

(17)

其中 系数“2”表示每天在(x,θi)与CBD之间的往返出行，ρ为家庭到达CBD的年均出行次数.

在均衡态，城市所有家庭的效用相等.令u表示均衡态下居民的效用水平，有

u=z(x,θi)+αlng(x,θi)

=Y-E(x,θi)-α+αlng(x,θi)

(18)

由一阶最优性条件，可以将g(·)和p(·)表示为居民效用水平u的函数

(19)

上式表明住房价格随着通勤费用增加而降低，住房面积随着通勤费用增加而增加.

2.2.2 房地产开发商的住房开发行为

由假设A2，地产开发商通过决策住房供给(或投资强度)来最大化自己的净利润.假定房地产开发商的住房生产服从柯布-道格拉斯函数，表示为

h(S(x,θi))=μ·(S(x,θi))b,0

(21)

其中h(S(x,θi))为(x,θi)处单位土地面积的住房供应量，S(x,θi)为(x,θi)处单位土地面积投资的资金量(也称为资金投资强度).μ和b为正的参数.

地产开发商的利润等于总的住房销售收入减去获得土地的资金成本和住房建设资金的机会成本.地产开发商的利润最大化问题可表示为

(r(x,θi)+kS(x,θi))

(22)

其中Λ(x,θi)为(x,θi)处地产开发商通过土地开发获得的净利润.r(x,θi)为(x,θi)处单位面积土地的价值，k为货币的利息率.

由一阶最优性条件，得到资金投资强度S也是效用水平u的函数，即

(23)

假定房地产市场是完全竞争市场，那么，均衡状态下所有房地产开发商的净利润为零，即Λ(x,θi)=0.因此，可得

r(x,θi)=μp(x,θi)(S(x,θi))b-kS(x,θi)

(24)

上式表明，随着通勤费用或货币利息率上升，资金投资强度和土地价值均下降，反之亦然.

2.2.3 住房供需均衡

住房供需均衡意味着城市每个位置的住房需求量等于该处住房供给量，表示为

h(S(x,θi,u))=n(x,θi)g(x,θi,u)

(25)

其中n(x,θi)为(x,θi)处的家庭居住密度.n(x,θi)可表示为

(26)

由假设A1，本文考虑的城市是一个封闭系统，意味着所有的居民在城市内部，即

(27)

(28)

利用式(24)，式(28)可以重写为

(29)

n(0)→ψ(0)→n(1)→ψ(1)→…→(n*,ψ*)

(30)

其中ψ={ψmin(x,θi)}和n={n(x,θi)}表示均衡时的出行成本和居民密度向量.

3 环线投资社会福利最大化模型

政府通过对城市轨道交通环线数目和环线位置以及车辆发车频率进行决策，来最大化整个城市系统的社会福利.社会福利(SW)是城市系统中所有参与者净收益的和，包括全部家庭的效用，土地拥有者从房地产开发商手中获得的土地租金总额，轨道交通票价总收入，减去环线投资总成本和轨道交通系统的运营成本.社会福利最大化问题可表示为

(31)

其中 2ρ/η为通勤者每年从(x,θi)到CBD的往返次数，Qi(0)为每小时经由主干线i到达CBD的总流量，Qi(0)/ξ为每天经由主干线i到达CBD的总流量，y为轨道交通环线的使用年限.Φj为第j条环路的建设成本，定义为

Φj=γ1+γ2(2πRj)

(32)

其中γ1和γ2分别为环线建设成本中的固定和可变成本参数.

Θi为轨道交通主干线i的运营成本，Θj为轨道交通环线j的运营成本，分别定义为

(33)

(34)

其中Li为主干线i的长度，ζ1和ζ2分别为运营成本的固定和可变成本参数.

模型(31)为一个混合整数规划问题，决策变量包括轨道交通环路数量、环路半径(或位置)、轨道交通发车频率.由于目标函数是多维度、高度非线性，通常很难得到全局最优解.本文采用Hooke-Jeeves方法来求解，它不需要目标函数的梯度信息，求解的基本思想是依次执行探测性搜索和模式搜索.理论表明Hooke-Jeeves方法可以收敛于模型的最优解[19].

为评价投资环线前后城市系统的性能，定义如下指标

平均家庭居住密度=N/city area

平均家庭住房面积=

平均房价=

平均土地价值=

平均资金投资强度=

图3 无环放射状城市结构Fig. 3 Radial city structure without ring rail line

4 算 例

如图3所示，考虑一个4条主干线的城市,长度Li分别为19.3 km，22.5 km，20.4 km和21.3 km.4条主干线之间的夹角分别为120°，80°，70°和90°，将城市划分成4个扇形，显然，该城市具有非对称结构.为简化问题，假设网络中所有的主干线、环线分别具有相同的旅行速度和车辆容量.模型参数的值见表4.

表4 算例输入参数

图4 投资的轨道交通环线数对社会福利的影响Fig. 4 The effect of the number of ring rail lines to be invested on social welfare

图4给出了投资的轨道交通环线数对社会福利的影响.它表明随着环线数增加，社会福利首先增加，然后下降，当环线数为2时，社会福利的值达到最大，为6 775.8亿元.因此，该城市投资的轨道交通环线最佳数目为2.表5给出了没有环线和具有两个环线的城市的最优解.它表明环线1和环线2的最佳位置与CBD的距离分别为9.3 km和14.3 km.

图5给出了投资环线前和投资两个环线后居民的路线选择分布，图中区域S1表示直接到达CBD；区域S2表示先沿圆弧到达主干线，然后沿主干线到达CBD；区域S3和区域S4分别表示先到达环线1和环线2，然后通过环线到达主干线再到达CBD.比较图5a和图5b可以发现，投资环线前，通勤者只有两种途径到达CBD，居民集中分布在主干线两侧.投资环线后，通勤者到达CBD的途径多样化，居民分布分散化，城市面积扩大.

图6(a)～图6(d)和图6(a′)～图(d′)分别表示投资环线前后居住密度(家庭/km2)、房价(元/m2)、居民的住房面积(m2/家庭)以及资金投资强度(106元/km2)的分布.图6(a)～图6(d)表明，投资环线前，城市居住密度、房价和开发商投资强度从CBD往城市外围依次单调下降，家庭住房面积依次单调上升.但投资环线后，这种单调性被打破(如图6(a′)～图6(d′))，投资环线后，城市居住密度、房价和开发商投资强度从CBD往城市外围先下降，但在接近环线时这些指标上升，在远离环线往城市外围又开始下降，从而在环线处形成“山峰”；家庭住房面积正好相反，先上升，在接近环线时下降，在远离环线往城市外围又上升，结果在环线处形成“山谷”.

表5 无环和两环下最优解的比较

(a)投资环线前(a) Before investing ring rail lines (b)投资两个环线后(b) After investing two ring rail lines

(a)

(c)

(a’)

(c’)

表6 无环和两环下城市系统性能的比较

表6比较了投资环线前和投资两个环线后城市系统的性能.可以看出：投资建设两个环线后，整个城市的面积扩张，城市平均居住密度下降，平均住房面积增加，平均房价下跌，平均土地价值随之下降，从而地产开发商的平均资金投资强度也下降.结果，城市居民效用和总的社会福利增加.因此，环线投资建设将使得城市居民和整个城市系统均受益.

图7 轨道交通线路造价对最优环线数目的影响Fig. 7 The effect of rail line construction cost on the optimal number of ring rail lines

实际中，由于地质条件的不同，不同城市轨道交通线路的造价γ2存在较大的差异，这对环线的投资建设可能带来影响.图7表明了轨道交通线路造价对最佳环线数目的影响.它表明：当造价为每公里5亿元时，建造的最佳环数为3条，当造价为每公里6亿元～8亿元时，最佳的环线数为2条，当造价在9亿元以上时，最佳方案是建造1条环线.因此，在规划轨道交通环线投资时，要因地制宜，充分考虑区域的实际情况，制定适合地方经济可持续发展的轨道交通投资决策方案.

5 结束语

研究了城市轨道交通环线投资决策问题，包括优化环线位置、环线数量和发车频率等.在分析城市系统中政府、城市居民、地产开发商和通勤者相互关系的基础上，建立了城市系统均衡模型，包括通勤者路线选择均衡、居民住宅选址均衡、城市住房市场均衡.然后，建立了城市轨道交通环线投资决策模型，使得城市系统的社会福利最大.模型可以内生确定城市居住密度、住房价格、家庭住房面积、土地价值、资金投资强度等.研究结果表明环线投资后整个城市面积扩大，城市居住密度、房价和开发商投资强度在环线处出现“山峰”，而家庭住房面积在环线处出现“山谷”.这在一定程度上解释了实际中地铁环线附近住房市场的变化规律.就城市平均性能而言，平均居住密度、平均房价、平均土地价值和平均投资强度下降，但平均住房面积增加.总体来说，环线投资建设使得城市居民和整个城市系统均受益.

本研究主要针对单中心城市结构和轨道交通方式，在进一步研究中，可将其拓展到多中心城市结构和多种竞争的交通方式，包括私家车和公交车.文中提出的模型是确定性、静态模型，适用于中长期城市规划和投资评价目的.实际中，存在各种随机不确定性因素，而且城市人口规模在动态发生变化，因此，进一步研究中将考虑动态、不确定性因素的影响.文中假定出行者总是选择费用最小的路线出行，近来的研究表明，在出行路线选择中有必要考虑出行者的心理行为[20, 21]，这也是我们下一步的研究方向.此外，本文假定城市居民是同质的，也没有考虑企业选址行为和就业岗位等，未来研究中，将进一步考虑城市居民的异质性以及企业选址和就业岗位布局等问题.