根的判别式在解题中的应用

张田田

一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式Δ=b²-4ac在初中数学学习中占有非常重要的地位，它是解决一元二次方程相关问题的重要工具，也是中考的必考知识点。利用根的判别式可以判断一元二次方程的根的情况，在解决方程、函数、不等式等问题时也有广泛的应用。下面就根的判别式在解题中的应用举例说明，以期对同学们的学习有所帮助。

苏科版数学教材九年级上册“一元二次方程”第20页的习题中有这样一题：

例1 k取什么值时，关于x的一元二次方程x²-2x+k-1=0有两个相等的实数根？有两个不相等的实数根？没有实数根？

【分析】本题主要考查的是一元二次方程的根的判别式的知识。一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的情况可以由根的判别式b²-4ac的符号来判定。当Δ=b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根;当Δ=b²-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根;当Δ=b²-4ac<0时，方程没有实数根。故先用含k的代数式表示b²-4ac，再分别用b²-4ac=0，b²-4ac>0，b²-4ac<0求出相应的k的取值范围。

变式1 （2020·江苏南京）关于x的方程（x-1）（x+2）=p²（p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（ ）。

A.两个正根

B.两个负根

C.一个正根，一个负根

D.无实数根

【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系两个知识点。先把方程（x-1）（x+2）=p²化为一般式，根据根的判别式A=b²-4ac的符号来判断方程根的个数，再根据根与系数的关系x₁+x₂=-b/a，x₁·x₂=c/a来判断根的正负性，即可求解。

解：将原方程化为x²+x-2-p²=0，

则Δ=b²-4ac=1+8+4p²=9+4p²0，可知方程有两个不相等的实数根。

因为x¹·x²=c/a=-2-p²<0，

所以此方程有一个正根，一个负根，故选C。

变式2 已知关于x的方程mx²+（3m-2）x+2m-2=0。

（1）求证：方程总有实数根;

（2）若方程有两个整数根，求整数m的值。

【分析】本题考查含字母系数方程的根的情况。（1）对于此类问题，首先要对二次项系数进行分类讨论，先确定方程的类型。若m=0，方程是一元一次方程，有实数根;若m≠0，方程是一元二次方程，则需由根的判别式Δ=b²-4ac进行判定，确定根的判别式的符号，从而得知方程根的情况。（2）把mx²+（3m-2）x+2m-2=0因式分解得到方程的两个根，再根据题意求整数m的值。

（1）证明：当m=0时，原方程可化为-2x-2=0，方程有实数根X=-1;

当m≠0时，mx²+（3m-2）x+2m-2=0是关于x的一元二次方程，

由题意，得a=m，b=3m-2，c=2m-2。

因为△=b²-4ac=（3m-2）²-4m（2m-2）=m²-4m+4=（m-2）²≥0，

所以方程有两个实数根。

综上所述，不论m为何值，方程总有实数根。

（2）解：由题意知方程有两个整数根，故m≠0。

因为mx²+（3m-2）x+2m-2=0，

所以（mx+2m-2）（x+1）=0，

所以x₁=-1，x₂=-2+2/m。

因为方程有两个整数根且m是整数，

所以m=±2或m=±1。

二、判别式在实际问题中的应用

苏科版数学教材九年级上册“一元二次方程”第24页问题1：

例2 用一根长22cm的铁丝：

（1）能否围成面积是30cm²的矩形？

（2）能否围成面积是32cm²的矩形？

【分析】本题考查列一元二次方程解决实际问题、根的判别式的应用等知识点。（1）设围成的矩形的长是xcm，根据矩形的面积公式列出方程，解方程即可;（2）同第1问，列出方程，要判断能否围成矩形，需要判断方程根的情况，借助根的判别式b2-4ac即可得到结论。

解：设这根铁丝围成的矩形的长是xcm，则矩形的寬是（11-x）cm。

（1）根据题意，得x（11-x）=30，

即x²-11x+30=0。

解这个方程，得x₁=5，x₂=6。

当x=5时，11-x=6;当x=6时，11-x=5。

答：用一根长22cm的铁丝能围成面积是30cm²的矩形。

（2）根据题意，得x（11-x）=32，

即x²-11x+32=0。

因为b²-4ac=（-11）²-4×1×32=121-128=-7<0，

所以此方程没有实数根。

答：用一根长22cm的铁丝不能围成面积是32cm²的矩形。

变式1 把一根长32cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形。问：这两个正方形面积的和可能等于30cm²吗？

【分析】本题考查一元二次方程的应用，利用正方形的周长表示出正方形的边长进而列出方程，然后可以利用一元二次方程的根的判别式判断方程是否有解，若无解，则不可能;若有解，先求解，再根据实际问题来验证解是否符合条件。

解：设其中一个正方形的边长是xcm，则另一个正方形的边长是（8-x）cm。

根据题意，得x²+（8-x）²=30，

即x²-8x+17=0。

因为b²-4ac=（-8）²-4×1×17=64-68=-4<0.

所以此方程没有实数根。

答：这两个正方形面积的和不可能等于30cm²。

变式2 已知EYABCD的两边AB、AD的长是关于x的方程x²+m/2-1/4=0的两个根。问：m为何值时，◇ABCD是菱形？并求出菱形的边长。

【分析】本题考查菱形的性质。若◇ABCD为菱形，则边长相等，那么一元二次方程有两个相等的实数根，即可以得到根的判别式b²-4ac=0，进而求出m的值，最后通过解一元二次方程的根求出菱形的边长即可。

解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=AD。

∴方程有两个相等的实数根，即b²-4ac=0。

故b²-4ac=m²-4（m/2-1/4）=0，

解这个方程，得m=1。

当m=1时，原方程为x²-x+1/4=0，

解这个方程，得x₁=x₂=0.5。

答：当m为1时，平行四边形ABCD是菱形，菱形的边长为0.5。

总而言之，根的判别式的应用在历年的中考题中都有所体现，它不仅可以用来判断一元二次方程根的情况，也可以解決如函数、方程、不等式、几何等很多其他的问题。许多表面与一元二次方程无关的数学问题，如完全平方式、二次三项式的因式分解等，都可以通过构造一元二次方程，把原问题转化为讨论方程根的性质的相关问题进行解决。