解决圆锥曲线定点问题的两种常用策略

摘 要：圆锥曲线中直线过定点问题是高考的热点问题之一，对学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象等数学核心素养的要求较高，是区分学生数学学科思维水平的有力载体，圆锥曲线定点问题是研究变化中的不变量及其规律性，着重考查学生的综合素质，渗透了函数与方程、等价转换、分类讨论、数形结合等思想，也能加深学生对代数与几何之间的联系的理解。文章结合教学实际，针对高三复习课中的圆锥曲线定点问题，介绍两种常见解题方法：引进参数直接推理法、特殊到一般法。

关键词：定点;引进参数;特殊到一般

解析几何中的定值问题是指某些几何量（线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等）的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不以参数的变化而变化，而始终是一个确定的值。解决圆锥曲线中的定值问题的基本思路是：定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，从而找出这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个值。

圆锥曲线问题作为高考重要内容之一，常与直线、圆相结合来出题，笔者通过对高考圆锥曲线试题特征以及日常教学中学生的解题障碍的分析，结合波利亚的“怎样解题表”，解题四步骤：弄清问题→拟定问题→实施问题→回顾问题，教会学生通过不断的自我提问来整理思路，从而逐步尝试求解。首先以2017年高考数学全国Ι卷理科第20题为例。

数学的本质：数学知识是基础，数学方法是根本，数学思想是灵魂。基于波利亚解题理论，文章结合三个例题介绍求解圆锥曲线定点问题的常见两种解法：引进参数直接推理法、特殊到一般法。对于定点问题应重视“拟定计划”中几何条件与代数条件的转化，反思回顾解题的通法与巧法相结合，让学生主动运用四步骤解题，实现与“圆锥曲线定点问题”对话的顺利进行。文章对高考圆锥曲线中直线过定点问题进行了分类研究，通过剖析例题的特点，提炼出针对性的解法，帮助学生把握问题本质、提高思维品质。使学生在问题解决的过程中发展数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象等数学核心素养，体会数形结合、等价转化等数学思想。

參考文献：

[1]周永峰.丰富学生思维活动 提升数学核心素养：以“圆锥曲线中的定点定值问题”为例[J].中学数学月刊，2017（10）：32-35.

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[3]胡敏洁.如何让习题课更精彩：以“圆锥曲线中的定点定值问题”一课为例[J].中学数学月刊，2019（4）：49-51.

[4]魏欣，邓春梅.2018年高考全国Ⅰ卷解析几何题的探究与推广[J].中学数学研究：华南师范大学，2018（8）：1-4.

[5]郭朋贵，李丹.圆锥曲线一类定值问题的探索[J].中学数学研究：华南师范大学，2018（10）：32-33.

作者简介：

尹芳芳，福建省南平市，福建省南平第一中学。