掌握转化思想 以不变应万变

文 何 平

方程是初中数学的重点内容之一。初中阶段我们经历了解一元一次方程、二（三）元一次方程组、分式方程、一元二次方程，求方程的解最终都是转化为x=a的形式，上述方程的解法都离不开转化的数学思想。对于一元二次方程，常见的解法有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法，这几种常见解法之间既有区别也有联系。下面我们通过具体的问题一起来剖析它们之间的关系。

例1解方程：x2+2x+1=9。

【方法一】观察方程左边，我们可以发现它符合完全平方公式，那么我们可以利用配方法、直接开平方法求解。

解：（x+1）2=9，

x+1=±3，

∴x1=2，x2=-4。

【点评】配方法是通过将方程中含x的项配成完全平方的形式来解一元二次方程的方法。当二次项系数为1时，配方法的关键是将方程两边同时加上一次项系数一半的平方；当二次项系数不为1时，先把二次项系数化为1，然后再配方。因此，配方法适合求解所有的一元二次方程。

【方法二】观察这个方程，我们还可以把方程整理成一般形式，选择公式法求解。

解：把方程化成一般形式，得

【点评】对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0），当b2-4ac≥0时，同学们只需要将各项系数代入公式即可求解。公式法同样适合求解所有的一元二次方程。

【方法三】方程左边可以利用完全平方公式，然后把方程右边的常数9移项后再利用平方差公式分解因式，因此我们还可以选择因式分解法。

解：（x+1）2-9=0，

（x+1+3）（x+1-3）=0，

（x+4）（x-2）=0，

∴x+4=0或x-2=0。

∴x1=-4，x2=2。

【点评】在解方程时，我们要注意观察方程的特点，思考能不能用提取公因式、完全平方公式、平方差公式等进行因式分解，从而将一元二次方程转化为两个一元一次方程的积的形式，实现降次的目的。因式分解法在解方程时比较简单，但是并不适合所有的一元二次方程，需要我们灵活选用。

【总结】解一元二次方程的基本思路是将二次方程转化为一次方程，实现降次的目的。

降次有两条路径：开方和因式分解。解一元二次方程时，要开方需要先配方，利用平方根的定义将方程转化为一次方程，实现降次的目的；因式分解法是要先将方程的一边化为两个一次因式相乘，另一边化为0，再分别使这两个一次因式等于0，其实配方法也是特殊的因式分解法。另外，通过配方法，我们能推出求根公式，公式法是直接利用求根公式解方程。具体如下图：

配方法、公式法适用于所有的一元二次方程，因式分解法在解某些一元二次方程时比较简便，因此我们要根据方程的特点，灵活选用各种解法，以优化思维。下面我们再来看看如何利用转化的思想解决不熟悉的方程。

例2解方程：x3-2x2-9x+18=0。

【分析】这是一元三次方程，类比之前各类方程的解法，依然应该通过转化思想实现降次的目的。观察方程的特点，我们可以分项组合，提取公因式，利用因式分解法求解。

解：x2（x-2）-9（x-2）=0，

（x-2）（x2-9）=0，

（x-2）（x+3）（x-3）=0。

∴x1=2，x2=-3，x3=3。

变 式解 方 程：（x2+x-3）（x2+x-5）=3。

【分析】这是一个高次方程。观察方程的特点，我们可以利用换元法实现降次的目的，从而将方程转化为熟悉的方程求解。

解：设x2+x=t，

则方程可以化为：

解得x1=2，x2=-3，x3=-2，x4=1。

【点评】高次方程的基本解法思路依然是通过转化思想，把高次方程逐渐转化为一次方程求解。

例3解方程=-x。

【分析】这是无理方程（根号下含有未知数的方程）。我们可以通过将方程两边同时平方，把无理方程转化为有理方程求解。

解：方程两边同时平方，得

经检验，x1=5不满足原方程，舍去。

∴x=-1是原方程的解。

变式解方程：2-=-x。

解：移项得=2+x，

方程两边同时平方，得：

经检验，x1=1，x2=-1都是原方程的解。

【点评】无理方程的基本解法思路仍然是通过转化思想，把无理方程转化为有理方程，具体的策略是方程两边同时平方。但是解这类方程时我们要注意验根，防止产生增根。

同学们，方程这个大家族通常可以分为有理方程和无理方程，有理方程又包括整式方程和分式方程。我们熟悉的一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程都是整式方程。在解一元二次方程时，利用转化思想实现降次；在解二元一次方程组时利用转化思想实现消元；在解分式方程时，利用转化思想，通过去分母转化为整式方程；遇到无理方程，同样通过去根号转化为有理方程来解。具体如下图：

方程千变万化，但是解方程的基本思路都是通过转化思想，最终转化为x=a的形式。在解题过程中，我们需要结合方程特点，灵活选用解法，体会转化思想，以不变应万变。