能量高低与稳定性的探讨

张念依 邓楚楚 林 琪 李国榕 叶晴莹

(福建师范大学物理与能源学院，福建 福州 350117)

教学中，我们常说“能量越低越稳定”，这是一个普遍适用的结论吗？现结合全国中学生物理竞赛复赛理论考试第1题，讨论这个问题.

图1

(1) 为了使茶水杯所盛茶水尽可能多并保持足够稳定，杯中茶水的最佳高度是多少？

(2) 略.

解析： 为了便于分析问题，我们仅考虑第一小题 .题中所述的“使茶水杯所盛茶水尽可能多并保持足够稳定”指的是：使茶杯和其中所盛茶水(水尽可能多)组成的系统具有足够的稳定性.高中阶段，学生学习的是通过降低重心以提高系统的稳定程度.[1]考虑到此题所给情景，对于茶杯和茶水这一系统，质心和重心是重合的.因此，此题可以通过质心来求解.

以凳面中心O为坐标原点，以过O点向上的竖直线为y轴.茶杯(包括茶水在内)的质心位置yCM为

(1)

式中h是杯中茶水的高度，λ=ρπr2.

事实上，考虑在茶杯中茶水的水平面从杯底逐渐缓慢上升的过程，茶水杯整体的质心先是逐渐降低，然后再逐渐上升.为了使茶水杯盛尽可能多的茶水并保持足够稳定，茶水杯整体的质心应尽可能接近凳面，处于最低点的位置yCM(h=hmax)=(yCM)min，故有

(2)

由(1)、(2)式可得

(3)

舍弃负值(不合题意)，杯中茶水的最佳高度为

(4)

以上是利用质心(重心)越低越稳定的思想解出的答案.如果这道题从“能量越低越稳定”的角度考虑，可以从定性和定量两个维度进行分析.

首先，我们可以从定性的角度简易推断：水杯是静止的，零势能面(凳面)位置不变时，其重力势能自然不变.倒入水的过程中，随着水位的上升，水的重力势能增大，系统的重力势能也随之上升.反之，可推断出，水最少时系统重力势能最小.但这与我们之前求出的系统稳定时水的最佳高度明显不符.

(5)

若求系统势能的最小值，有

(6)

由(6)式可以看出，h=0时取得势能最小值.这与上述有关势能的定性分析一致，但是却与标准答案的结果相悖！“能量越低越稳定”在这里为什么行不通了？

本文讨论的竞赛题在杯中加入水的过程里，水的质量在不断增加，说明系统属于变质量体系，因此这道题用势能极值来解题的方法是错误的.