关于四元数指数函数的注记

常振虎，唐哲，曹文胜

（五邑大学 数学与计算科学学院，广东 江门 529020）

众所周知，指数函数ex有幂级数展开式，且其收敛半径为无穷大，即有

将此级数扩展到复数域，并令x=i,θ θ∈R，便得到著名的欧拉公式[1]：

四元数是Hamilton 于1843 年发现的数学概念.记R 和C 分别表示实数域和复数域，则四元数可表示为

其中，i,j,k 满足如下乘法表：

1 相关定义及引理

定义1对任意四元数q，我们定义

显然，eq也是一个四元数，且当q 是实数或复数时，就是我们常见的实数域或复数域上的指数函数.

要使式（5）有意义，需要判定式（5）右边是否为收敛的级数，而这是显然的.因为我们知道当q∈H C时，存在p≠ 0，使得 pqp-1=Re(q)+|Im(q)|i=qc∈C[4]，而进而

由复变函数关于复数幂函数的知识（详见参考文献[1]第161 页例4.6），得到式（5）的左边对任意四元数是收敛的，因而定义1 是有意义的.

定义2如果四元数u 满足Re(u)=0,|Im(u)|=1 ，我们定义u 为四元数的一个虚数单位，简称虚数单位.如：等都是虚数单位.

在 R3空间中，x=(x1,x2,x3),y=(y1,y2,y3)的内积为我们可以把四元数q 的虚部 Im(q)=q1i+q2j+q3k 视作三维向量 (q1,q2,q3)，则我们有

引理1设 u=u1i+u2j +u3k ，v=v1i+v2j+v3k，则：uv=-u·v+u×v.

证明由四元数计算规则知：

2 四元数上的欧拉公式

定理1设u 是四元数虚数单位，θ∈R，则有

证明因为u 为虚数单位，所以u3=-u，u4=1，…，将q=uθ代入式（5），得：

我们把上面的公式称为四元数上的欧拉公式.

定理2设 q=q0+qv，其中 q0=Re(q)，qv=Im(q)，则有

证明对四元数 q=q0+qv，其中 q0是实部，qv是虚部，由式（5）知：

由定理1 知

推论1设u 是单位虚数，则：

证明利用 euθ=cosθ+u sin θ,e-uθ=cosθ-usin θ，两式相加或相减立即得出上面的结论.

3 四元数的辐角和对数函数

设 q=q0+q1i+q2j+q3k=q0+qv≠ 0.我们把四元数看作四维空间中的一个点，则以原点为起点，q 为终点的向量与四元数q 一一对应，此向量与x 轴一起张成一个二维平面.这个平面的基为x=(1,0,0,0)和 (0,q1,q2,q3)这两个向量.我们可视此平面类似于复平面，则在此类复平面上，将正实轴和之间夹角的弧度数θ 定义为q 的辐角，记作arg(q)=θ.在这里有当然，辐角有无穷多个，我们把满足条件 0≤θ0≤π的辐角称为arg(q)的主值，记为那么很显然 arg(z)=θ0+2kπ，其中k 为任意整数.在这里需要说明的是，在传统的复平面上辐角的主值是 0≤θ0＜2π，但放在四元数的情形下时，考虑到 euθ=e(-u)(-θ)，我们取主值为0≤θ≤π.下面讨论四元数的指数表示.

设q=q0+qv=reuθ=r (cosθ+usin θ)，则有 q0=r cos θ，qv=ru sin θ.故有即

在指数表示下，两个四元数相等是指模长相等，辐角也相等.与复变函数中相关理论类似，在四元数体上，定义对数函数与指数函数互为反函数，则满足方程eω=z (z ≠ 0)的函数 ω=f (z)为四元数变量z 的对数函数.

令四元数 ω=ω0+ωv，其中ω0为实部，ωv=Im(ω),z=r euθ.则

由四元数相等及关于辐角的说明，有

所以对数函数 ω=f (z)可记作

其中k 为任意整数，ln|z|∈R 为实函数中的对数函数.

设u 是某 一四元 数虚数 单位，则有 euθeuβ=(cosθ+sin θu)·(cos β+ sin βu)=eu(θ+β).由于 四元数 的虚数单 位众多，所以 上式 eiθeiβ=ei(θ+β)是形 式上的 推广.从四 元数模 的性质 我们知 道，euθ与 evβ的乘 积仍是模为单位1 的四元数，可以表示为 ewα的形式，下面讨论w,α 与u,v,θ,β 的关系.

定 理3设u,v 为 四元 数虚 数单 位，则 euθevβ=ewα，其中 α=arccos ［cos θcos β-sin θsin β(u·v)］，

证明由定理1 知

又因为 ewα=cos α+w sin α，由四元数相等知

故可得

例1已 知 a1,a2,b1,b2,α,β∈R，设 I=cos a1sin b1i +cos a1cos b1j +sin a1k ，J=cos a2sin b2i +cos a2cos b2j +sin a2k，则由定理3，我们可得出eKγ=eIαeJβ，其中