追本溯源，分层建构

马吴艳

摘  要：“角的认识和度量”，要以“认识”作为基础，以“度量”作为知识生长点。借助于学生的已有知识经验，通过学生的操作，引导学生重蹈人类探索量角器的思想历程、关键步子，让学生认识测量的本质、测量工具——量角器的本质，由此让学生逐步地认识角、测量角。

关键词：小学数学;角;教学建议

“角的认识和度量”是“图形与几何”部分的基本内容之一。苏教版教材将这部分内容安排在四年级上册《垂线和平行线》单元进行教学。在此之前的二年级下学期，学生已经学习了《角的初步认识》，直观认识了角，并且初步知道了角的顶点和两条边。同时，学生已经在前一课时认识了射线，这些都是学生认识角的重要的知识基础。通过这部分内容的学习，引导学生进一步深化对角的认识，学会比较角的大小，进而引出用量角器量角的方法，为学生进一步学习平角、周角、角的分类、画指定大小的角奠定坚实的基础。教学这部分内容，要遵循知识本身的发生、发展逻辑，去追本溯源、分层建构。下面，笔者结合自身的教学实践对这部分教材内容做简单分析，并提出相应的教学建议，以供备课参考。

一、教材内容分析

这部分教材内容大体上分两段安排：第一段内容包括例2、“练一练”中的第三、第四题;第二段内容包括例3、3道“练一练”。两个部分内容配套一個“练习13”。其中，通过例2的学习，引导学生认识角、理解角的大小与两条边叉开的大小有关;通过例3的学习，引导学生经历量角器的结构诞生过程，能运用量角器量角。教学这部分内容的时候，要遵循从直观到抽象、从操作到理解的过程。具体来说，这部分内容的编排主要有如下几个特点。

1. 基于经验，从直观到抽象

学生在第一课时已经认识了线段、直线、射线等的特征，这些是学生认识角的经验基础。苏教版教材从学生已有经验出发，紧紧扣住“射线”，引导学生静态地“认识角”。“例2”以一点为端点画两条射线，引导学生通过“画一画”“看一看”，理解教材中对角的静态描述，即“从一点引出两条射线可以组成角”，进而让学生指出“角的顶点、两条边”。在链接学生已有知识经验的同时，引导学生体会到，所画角的两条边是两条射线，顶点是两条边的公共的端点。接着，教材用一段红颜色的弧线标注角，并清楚地指出，角是由两条射线组成的图形，是两条射线所夹的平面部分，从而让角的概念更加明确。在例2中，清晰地表示角的符号“∠”，以及使用符号表示角的具体方法，如∠1。这样的表示方法，能让学生感受、体验到符号的简洁，感受到符号有助于表达、交流。

在“练一练”第3题中，要求学生以一条射线为一条边，分别画一个角。“画角”需要学生找到已知射线的端点，并从这一点出发，再画出一条射线，从而与原来的射线组成了一个角。通过画角，能够增强学生对角的表象。在“练一练”第4题中，要求学生数一数一块三角尺上有几个角，并且指出每一个角的顶点、两条边。通过这样的活动，让学生感受、体验到三角尺上的每一条边，既是一个角的一条边，也是另一个角的一条边。当学生能够清晰地指出每一个角的顶点、边之后，角的初步概念也就在学生心里形成了。

在“练习十三”第2题中，三条射线有同一个端点。在这样的稍复杂的图形中识别角，就是要深化学生对角的感受与体验，因为每两条射线都可以组成一个角，因而从同一个顶点出发的三条射线就组成了三个角。教学中，教师要组织学生交流每个角的顶点、两条边，引导学生用手指示意弧线表示两边所夹的部分，引导学生用符号来表示各个角，感受图中的较小角可以合成一个较大的角。

2. 基于活动，从操作到理解

活动是学生数学学习的基石，也是学生经验建构的主要方式。“角的认识和度量”教材第二部分的主要内容就是“角的度量”。其中，例3给出一个角，让学生用三角尺上的角去度量这个角的大小。由于三角尺上角的大小不同，所以测量的结果与表达各不相同。如果用三角尺上较大的锐角去量，那个角正好等于较大锐角;如果用三角尺上较小的锐角去量，那个角正好等于较小锐角的2倍;如果用三角尺的直角去量，那个角比直角小。教材安排这些测量活动的目的有两点：其一就是要让学生认识到，测量角的大小就是找寻一个大小已知的、与被测量角大小相等的角;其二就是要让学生感悟到，测量角的大小，必须要有一个统一度量工具和计量单位，这些与测量长度需要有一个统一的长度单位、测量面积需要有一个统一的面积单位、测量容量需要有一个统一的容量单位是一致的。

在此基础上，教材介绍了量角器。这里的介绍是有层次性的，首先是1°小角的建立，因为对于大部分学生而言，他们能清楚地看到量角器的刻度线、看到量角器上的数字，却想不到量角器的中心与两条刻度线竟然组成了一个“1°”小角。这里，可以引导学生进行“分角”“拼角”的活动。其次要引导学生认识量角器，尤其要把握量角器上的内外两圈刻度，这里，要让学生从量角器的左右两边感受、体验0°、20°、90°、135°、180°的角，其意图有两个：一是让学生认识到量角器能将任何一个角量出来，引导学生正确读刻度、算角度。再次就是在认识量角器后，引导学生学会使用量角器测量角的大小。这里的活动线索是“图示方法—模仿操作—交流体会”，也就是“点重合、边重合、读刻度”等。

教材对“练一练”的编排是由易到难的，其中第1题直接就能说出刻度;第2题要将量角器正确放置在角上，读出量角器刻度;第3题先让学生估测，然后让学生用量角器测量验证。“练习十三”的第8题给出四幅用量角器量角的图，其中有三个的测量方法不对，这里可引导学生辨析正误、改正错误。“练习十三”的第9、10两题，用量角器测量角的难度显著增加。一方面是量角器的正确放置，另一方面是选择量角器的内外圈读刻度。“练习十三”第13题，先让学生估测，再让学生测量。通过估测，培养学生估计角的大小的能力，形成估计角的大小的参照。

二、几点教学建议

根据教材的编排意图，教师在组织内容实施教学时，要结合学生的已有知识经验，追根溯源、分层建构。通过教学，一方面让学生认识“角”的本质，另一方面认识角的“度量”的本质。教材中，这两个部分的内容前后联系紧密、连贯性强，对此如何扎实有效地进行教学呢？笔者认为，可以从以下三个方面入手：

1. 加强动手操作，明晰测量知识本质

由于学生已经拥有了对角的初步认识，因此在实施第一部分内容教学时，教师可以从两个方面来引導学生认识角。一方面是教材中的静态视角，另一方面是借助活动角的动态视角。在静态视角认识角的时候，可以引导学生“画一画”“标一标”;在动态视角认识角的时候，可以借助活动角的动态演示、操作，让学生深刻认识到“角的大小就是角的两条边叉开的大小”。在进行第二部分内容的教学时，教师不是简单地传授“量角”的技能，而是让学生经历“量角器诞生”的过程。从“度量”的本质出发，即“度量一个对象就是看这个对象包含了多少个单位”。这样的认识，学生应该是有其知识基础的。因为学生在二年级下册学习《认识厘米》时，就经历了“厘米尺”的诞生过程，感悟到测量的本质。

量角器的认识，学生有两个难点：其一是“不知道量角器为什么要有内外两圈刻度”，其二是“不知道量角器的0刻度在哪里”（注：因为学生受直尺影响，容易将量角器的左端误认为0刻度） 。为了让学生感受、体验量角器的测量本质，教师可以通过多种方式引导学生测量角，比如用三角尺上角去比较角，比如用活动角去比较角。这里，能让学生感受到动态地运用活动角去比较角的大小的方便、快捷，而运用固定角去比较角的麻烦。尽管如此，学生也发现活动角只能进行角的比较，却不能进行角的精确度量。由此激发学生产生用诸多单位小角去比较角的大小、对角的大小进行测量的需求。

2. 突破教学难点，明晰测量工具本质

运用量角器测量角，学生一般会出现如下问题：其一是不能将量角器的中心点与角的顶点对齐;其二是学生不能将量角器的0刻度线与角的一条边重合;其三是学生不能清晰地选择量角器的内外圈刻度进行读数;其四是学生对于不是水平方向的角，也就是开口方向不同的角，不知道如何摆放量角器，等等。这些难点问题，归结起来就是学生对于量角器这一角的度量的工具本质没有深刻的认知。引导学生突破教学难点，就必须让学生清晰测量工具的本质。为此，教学中，教师要回归量角器的创造的源头，引导学生自主建构量角器。

首先是从静态地用三角尺上“固定角”比较角的大小的过程中获得启发，用单位小角去进行角的大小比较、测量，从而引入“1°”的单位角。其次从动态的活动角比较角的大小的过程中获得启发，即可以将这些“1°”的单位角串接起来，从而构建了一个量角器的雏形。再次是改进、完善量角器雏形。比如学生一开始只是制作了一个“直角形的量角器”，为此教师可以出示一个钝角，引导学生认识到制作一个“半圆形的量角器”的必要性。学生可能一开始只是标注了量角器的单圈刻度，为此教师可以出示不同开口方向的角，比如“开口向左”和“开口向右”的角，学生就能感受、体验到单圈刻度的量角器在测量角时摆放的不方便，据此催生学生生发出内外两圈刻度的心理需求。在引导学生理解了测量的本质、工具的本质之后，教师可以适当地引导学生归纳，以便帮助学生更快地形成测量角的技能。

综上所述，“角的认识和度量”，要以“认识”作为基础，以“度量”作为知识生长点。借助于学生的已有知识经验，通过学生的操作，引导学生重蹈人类探索量角器的思想历程、关键步子，让学生认识测量的本质、测量工具——量角器的本质，由此让学生逐步地认识角、测量角。从而为学生后续学习相关知识打好基础，给学生后续学习相关知识提供支持。