矩阵之和Drazin逆的新表示

刘 新

(四川信息职业技术学院 基础教育部,四川 广元 628017)

0 引言

若Cn×n表示n×n阶复矩阵的集合。A∈Cn×n,若有唯一的X∈Cn×n满足下列3个等式[1-5]：

Ak+1X=Ak,XAX=X,AX=XA,

则把X叫做A的Drazin逆, 记X=AD。ind(A)是A的指数,ind(A)=k。I-AAD记作Aπ。由于Drazin逆的广泛应用，许多学者花费大量时间研究了矩阵和的Drazin逆的表示，但是都是在所给条件下做了不同讨论[1-14]。例如，2009年，Patricio[6]讨论了条件为P2Q+PQ2=0的矩阵和Drazin逆表达式；2016年，杨晓英[7]研究了条件为(P+Q)P(P+Q)Q=0的表示问题。在研究过程中，本文发现在证明时对矩阵采用不同的拆分，并借助已有文献的重要结论，可以得到一个比文献[6]和文献[7]更一般性的结论，为进一步研究分块矩阵Drazin逆的表示提供一种方法。

首先给出几个重要的引理。

引理1[8]设U,V∈Cn×n,ind(U)=r，ind(V)=s。如果UVU=0，UV2=0，则

(U+V)D=δ1+δ2+(δ1(UD)2+(VD)2δ2-VD(UD)2-(VD)2UD)UV,

其中

引理2[9]设A∈Cm×n,B∈Cn×m, 则(AB)D=A((BA)D)2B。

这里

1 两个矩阵和的Drazin逆

Patricio得出两矩阵和Drazin逆的表示为P2Q+PQ2=0。杨晓英得到的条件为(P+Q)P(P+Q)Q=0。本文借助上面三个引理证明了两矩阵和Drazin逆表示的条件(P+Q)P(P+Q)Q(P+Q)=0，这个条件比上面两篇文献的条件更具有一般性。

定理1 若P,Q∈Cn×n，ind(PQ+Q2)=t，ind(P2+QP)=l。如果(P+Q)P(P+Q)Q(P+Q)=0，则

((P+Q)D=PH+QJ+PH(P2+QP)D(PQ+Q2)+P(PQ+Q2)DJ(PQ+Q2)

+P(PQ+Q2)D+Q(PQ+Q2)D+QJ(P2+QP)D(PQ+Q2)

+Q(PQ+Q2)DJ(PQ+Q2),

其中，

W=(P2+QP)D+(PQ+Q2)J(P2+QP)D+(PQ+Q2)(PQ+Q2)DJ,

证明由引理2，可知

(1)

记

由条件(P+Q)P(P+Q)Q(P+Q)=0，显然EFE=0,EF2=0。

由引理1，得

(E+F)D=φ1+φ2+(φ1(ED)2+(FD)2φ2-FD(ED)2-(FD)2ED)EF，

其中

并且由F2=0，得FD=0，Fπ=I。易得φ2=0，φ1=ED+F(ED)2，

因此

(E+F)D=φ1+φ1EDF，

(2)

由引理3，得

(3)

这里

将(3)式和φ1代入(2)式，得

MD=(HH(P2+QP)D(PQ+Q2)+(PQ+Q2)DX(PQ+Q2)+(PQ+Q2)D

X(PQ+Q2)D+X(P2+QP)D(PQ+Q2)+(PQ+Q2)DX(PQ+Q2)),

其中

H=(P2+QP)D+(PQ+Q2)X(P2+QP)D+(PQ+Q2)(PQ+Q2)DX。

不难验证，结论成立。

由定理1不难得出一个推论，这也是文献[6]讨论的内容。

推论1[6]设P,Q∈Cn×n，若P2Q+PQ2=0，则

(P+Q)D=(P2+PQ)DP+Q(PQ+Q2)D+QXP,

其中

-(PQ+Q2)D(P+Q)(P2+PQ)D。

下面的推论是文献[7]中的重要结果。

推论2[7]设P,Q∈Cn×n，ind(PQ+Q2)=s[7]，ind(P2+QP)=r。若(P+Q)P(P+Q)Q=0，则

(P+Q)D=(P+Q)((P2+QP)D+(PQ+Q2)X(P2+QP)D(P2+QP)

+(PQ+Q2)(PQ+Q2)DX(P2+QP)+(PQ+Q2)D)，

这里