关于矩阵乘积秩的一种简捷证明

◎孔妮娜 （北方民族大学数学与信息科学学院，宁夏 银川 750021）

一、基本概念及定理

已知矩阵

如果把矩阵A的每一行看成一个向量，则

称为矩阵A的行向量组.

如果把矩阵A的每一列看成一个向量，则

称为矩阵A的列向量组.

定义［1］矩阵A的行向量组的秩称为矩阵A的行秩，矩阵A的列向量组的秩称为矩阵A的列秩，且矩阵A的行秩与列秩相等，统称为矩阵A的秩.

参考文献［1］中给出的关于矩阵乘积秩的定理如下：

定理［1］设A是数域P上s×n矩阵，B是数域P上n×m矩阵，于是

即矩阵乘积的秩不超过各因子的秩.

二、主要结果

本文用一种简捷的方法证明了矩阵乘积秩定理，并举例说明定理的结论成立.

定理的证明要证明式（1）成立，只需要证明秩（AB）≤秩（A），同时秩（AB）≤秩（B）.下面分别证明这两个不等式.

（1）首先证明秩（AB）≤秩（B）.

已知

设β1，β2，…，βn表示矩阵B的行向量组，则

则矩阵C的第i行元素分别为

令γ1，γ2，…，γs表示矩阵C的行向量组，则

把式（4）带入式（5），得

即矩阵C的行向量组γ1，γ2，…，γs可以由矩阵B的行向量组β1，β2，…，βn线性表出，所以

（2）其次证明秩（AB）≤秩（A）.

令α1，α2，…，αn表示矩阵A的列向量组，则

由式（2）和式（3）可知，矩阵C的第j列元素分别为

如果令μ1，μ2，…，μm表示矩阵C的列向量组，则

把式（6）带入式（7），得

即矩阵C的列向量组μ1，μ2，…，μm可以由矩阵A的列向量组α1，α2，…，αn线性表出，所以

综上所述，结论成立.

例已知矩阵

下面利用矩阵的初等行变换分别计算矩阵A、B及AB的秩：