例谈椭圆离心率问题的求解

王小檐 肖振华

摘 要：圆锥曲线在平面解析几何中处于核心地位，也是高考重点考查对象之一，文章主要以一道典型求椭圆离心率的问题展开多方位思考，探究数种不同的求解方法，总结了基本解题技巧以及常用的解题方法，丰富了椭圆离心率问题的探究，也加强了学生思维的训练，提高了学生的解题能力。

关键词：椭圓;离心率;解题策略

1.椭圆离心率的定义

椭圆离心率（偏心率）是指动点到焦点的距离和动点到准线的距离之比。用数学符号来表示：（c是半焦距，a是半长轴），椭圆离心率的范围为（0，1）。

2.典题呈现

题目：已知双曲线的一条渐近线与椭圆在第一象限的交点为P，F1，F2为椭圆C的左、右焦点，若，则椭圆C的离心率是多少？

分析：这种题型是圆锥曲线中的一道典型求椭圆离心率的问题，一般解决方法都会涉及解析几何、平面几何、代数运算等多个知识点，其综合性比较强，方法也比较灵活，要真正掌握椭圆离心率的求解，首先定义是基础，运算是关键，再建立起关于a，b，c间的关系是解题的突破口。

解法1：（寻找P点轨迹为桥梁）

如图2.1所示：双曲性的渐近线方程为，设，，定边对定角，所以点P轨迹为圆弧，方程为与直线方程联立可得：，解得

点评：此种方法来求解要求掌握“定边对定角模型”探寻P轨迹是一个圆弧，然后列出轨迹方程，并与直线方程联立，求出P点坐标，再算离心率就很容易得出结果。

解法2：（利用余弦定理来解三角形）

如图2.1所示：双曲性的渐近线方程为则，设，.

在和中有余弦定理可得：

将（2）+（3）式可得：

将（2）-（3）式可得：

所以，解得，

故

点评：这种方法求解的思路不易把握，圆锥曲线问题也同样可以利用平面几何的知识求解，打破常规解法，这种想法可以作为圆锥曲线的一个重要解题思路，帮助学生面对求离心率问题有更多的选择机会，要熟练余弦定理的应用，这样使问题又更简单明了。

解法3：（巧用距离公式建立等量关系）

如图2.1所示：双曲线的渐近线为联立椭圆方程：

解得又因为，所以

设，所以，又因为，

，所以，故，

即

整理可得，所以即，

故，所以

点评：这种解法中运用了余弦定理找出与c之间的关系，此外与a之间满足，二者建立等量关系从而能够求出椭圆离心率。

解法4：（引入参数利用等面积法）

如图2.1所示：渐近线方程为，设则，所以，由可知，所以，即

所以3e4-22e2+7=0解得（7舍去），所以

点评：前面已经给出了，再利用求出面积，根据P点坐标同样能够算出面积，面积相等求出参数，再根据a，b，c间关系算出离心率即可。

结论：探求椭圆离心率问题通常利用平面几何关系、代数运算等，如正、余弦定理，以及图形的对称性质，然后将这些关系结合椭圆的几何性质用a，b，c进行表示，进而得到等量关系，就可以确定离心率。本文以一道典型例题的多种方法求解为例，为椭圆离心率的问题挖掘了多条思路，供老师和学生参考，在某种程度上运用一定的解题策略能够激发学生的解题兴趣，从而帮助学生提高解题能力。

参考文献

[1]樊帆.一道圆锥曲线离心率范围问题的讨论[J]中学数学教学参考，2017，51-52

[2]刘族刚，朱新婉.圆锥曲线的离心率题型剖析[J]试题研究，2018，53-55

作者简介：王小檐、肖振华，江西省赣州市赣南师范大学数学与计算机科学学院，学科教学（数学）专业研究生