例谈判断充分与必要条件的方法

马岚

充分条件与必要条件是高中数学《常用逻辑用语》中的重要概念.判断充分与必要条件是高考中的一个常见考点，通常以选择或填空题的形式出现，难度一般不大，但涉及的知识面较广.本文结合几个例题，谈一谈如何判断充分与必要条件，以供大家参考.

一、充分条件与必要条件的定义及关系

已知p为命题的条件，q为命题的结论，当该命题为真命题，即由p通过推理可得出q时，我们就说，由p可推出q，或p⇒q，此时p是q的充分条件，q是p的必要条件.p是q的充分条件与q是p的必要条件描述的是同一种逻辑关系，只是说法不同.而p是q的充分条件只说明p⇒q，与q能否推出p没有任何关系.因此，我们可以说，若p⇒q且q p，则p是q的充分不必要条件;若pq且q⇒p，则p是q的必要不充分条件;若p⇔q，则p是q的充要条件，若pq且q p，则p是q的既不充分也不必要条件.

二、判定充分条件与必要条件的方法

1.定义法

定义法是判断充分条件与必要条件的基本方法，一般适用于解答比较简单的问题.在运用定义法判断充分与必要条件时，我们要首先根据题意确定命题的条件和结论，然后判断由条件是否能推出结论、由结论是否能推出条件，最后根据定义得出结论.

同学们在判断充分与必要条件时，一定要注意挖掘题目中的隐含条件，比如平方数大于或等于0、分母不为0、直线垂直于x轴时斜率不存在、两直线斜率相等时有可能平行也有可能重合等.这些是我们解题的重要依据.

2.等价转化法

等价转化法是判断充分与必要条件的常用方法.它是根据充分条件和必要条件的定义，借助原命题与其逆否命题的等价关系来判断的方法.当直接判断原命题的真假有困难时，同学们可以将问题转化为判断其逆否命题的真假，从而使问题获解.

例2.已知p：方程a2+a-n=0没有实根，q：n≤0，则p是q的什么条件？

解析：在解答此问题时，很多同学得到的结论是：p是q的即不充分也不必要条件.因为该方程没有实根，所以n≤- ，不是n≤0，所以從p推不出q.导致出现这一结果的原因是忽略了因为n≤- ，所以n≤0这个逻辑关系.但是若将这个命题可转化为判断原命题的真假就简单明了多了，很显然原命题为真，所以其逆否命题也必为真，则由p能推出q，因此答案应该是充分不必要条件.

同学们利用等价转化法解题时，一定要注意等价的两个命题的真假性.当遇到从正向考虑难度较大的问题时，不妨改变思考的角度，将问题进行转化，从其等价命题入手，这样问题就能迎刃而解.

3.集合法

我们还可以利用充分与必要条件和集合之间的关系来判断充分与必要条件.同学们在采用集合法进行判断时，要从集合与集合间的关系上着手分析条件之间的关系：设p的对象组成的集合P，满足命题q的对象组成的集合为Q，①若A⊆ B，则A是B的充分条件;②若B⊆A，则A是B的必要条件;③若A=B，则A是B的必要条件;④若A⊈B，且B⊉A ，则A即不是B的充分条件，也不是B的必要条件.同学们可借助数轴或者平面直角坐标系来辅助解题，这样可以降低解题的难度.

例3.已知集合A={1，a}B={1，2，3}，则a=3是A⊆ B的（   ）.

A.充分必要条件           B.必要而不充分条件

C.充分而不必要条件       D.即不充分也不必要条件

解析：因为集合A={1，a}，B={1，2，3}，若a=3，则A={1，3}，所以A⊆ B;若A⊆ B，则a=2或q=3，所以A⊆ B不能推出a=3，所以a=3是A⊆ B的充分而不必要条件，所以此题的正确选项应为C.

综上所述，无论运用上述哪一种方法判断充分与必要条件，同学们都要灵活运用充分与必要条件的定义，正确运用逻辑语言来表达命题之间的逻辑关系，然后利用所学的知识，如解不等式、解方程、判断直线垂直的方法等合理进行判断、推理，得出结论.

（作者单位：江苏省盐城高级实验中学）