一道圆锥曲线问题的解法探究

刘华昌

圆锥曲线问题是高中数学中的重要内容，也是高考的必考内容.由于圆锥曲线既具有方程的形式，也有对应的图形，所以在解答圆锥曲线问题时，学生可以从多个不同的角度思考解题的方案，既可以从方程、向量等代数角度，还可以从平面几何、解析几何等几何角度去思考解题的方案.开展一题多解训练，不仅能帮助学生掌握一类题型的通性通法，还能锻炼他们的发散性思维能力.

例题：已知椭圆E经过点 ，对称轴为坐标轴，焦点 在 轴上，离心率 .

（1）求椭圆E的方程;

（2）求 的角平分线所在直线 的方程.

本题主要考查了椭圆的对称轴、焦点、离心率等性质，以及角的平分线，属于中高档难度的题目.第一问较为简单，学生结合A点的坐标和離心率很快就能求出a、b、c的值，进而求得椭圆E的方程为 .本文主要探究一下第二问的解法.由于角平分线不仅与直线方程有关，还与平面几何知识相关，所以学生从不同的角度出发，可得到多种不同的解法.

利用直线方程的点斜式可得角平分线所在直线方程 .

焦点三角形顶角的角平分线与过焦点三角形顶点处的切线相互垂直，这也是椭圆中一个重要的光学性质（由椭圆的一个焦点发出的光线，经旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点）.本题利用椭圆的光学性质，求出角平分线所在直线方程的斜率.在解题的过程中，还利用了导数来求椭圆切线方程.这就要求学生学会发现问题、分析问题、建立模型，运用数学方法解决问题.

引导学生对一道数学题目从多角度、多层次进行探究，不仅能让学生的思路变得更加开阔，还有利于提高他们发现、分析和解决问题的能力.这能有效地促进学生数学思维能力的发展.

（作者单位：山东省聊城市茌平区第一中学）