例谈数学归纳法第二步证明中“从n=k到n=k+1到 ”过渡的技巧

王海

数学归纳法是证明与自然数N有关的命题的一种方法，是常见的一种数学证明方法.运用数学归纳法证命题的基本步骤为：

第一步，证明当n取第一个值n0（n0∈N*）时命题成立;

第二步，假设n=k（k≥n0，k∈N*）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.

而如何由 时命题成立，过渡到 时命题也成立，是运用数学归纳法证明问题的关键，也是解题的难点.下面介绍三种方法，以帮助同学们突破解題难关.

一、比较法

比较法是将两个代数式作差或者作商，并将差值与0进行比较、商值与1进行比较，来确定两个代数式大小的一种方法.由于n=k时和n=k+1时命题的形式较为相似，所以我们可以运用比较法从 过渡到 ，首先构造 或者 ，通过化简、变形，进而证明当 .

在证明本题的过程中，我们运用了一个重要不等式 ，将 进行放缩，通过前后项相互抵消，从而化简不等式，进而证明当n=k+1时命题成立.

综上所述，由n=k过渡到n=k+1是运用数学归纳法证明命题的关键，要想顺利过渡，同学们要结合命题的特征、结构，灵活运用分析法、比较法、放缩法来解题.同时，同学们在日常的训练中，要注意积累解题的经验，熟练掌握各种解题的技巧，提升证明命题的效率.

（作者单位：江苏省扬州大学附属中学东部）