解答排列组合问题的常规思路

章维维

排列组合问题常出现在选择题中，主要考查同学们的分析和逻辑思维能力.很多同学在解答排列组合问题的过程中容易出现审题不清、分不清到底是排列还是组合问题的情况.笔者对这类题型进行了分析，归纳出以下几种常规的解题方法.

一、特殊元素/位置法

有些问题中的元素/位置有特殊要求，这时我们不妨运用特殊元素/位置法来解题，首先考虑有特殊要求的元素/位置，将它们先排列;再处理其他没有要求的元素/位置.如果同时出现多个特殊元素/位置，则必须同时考虑.

例1.用 五个数字能组合成多少个三位数的偶数？

分析：要组合成三位数的偶数，则末位必须是 当中的一个.而 较为特殊，不能排在首位，因此可将0作为特殊元素优先考虑，需分为两种情况进行讨论.而个位、十位和百位有顺序要求，所以该问题属于排列问题.

解：当0排在个位时，其余四个数1，2，3，4可任意选择十位和百位两个位置，共有 种排列方法;

当0不排在个位时，需要从2、4中挑选一个数排在个位，有 种排列方法;此时，除了0以外还有3个数，可选择一个排在百位，有 种排列方法;那么剩余有3个数字没有排，所以十位的排列方法有 种，故共有 种排列方法.

由分类计数原理可得，满足题意的三位数共有 个.

二、捆绑法

在处理某些元素必须排在一起的问题时，我们常用捆绑法.首先将要求相邻的元素“捆绑”在一起，當作一个整体与其他元素一起排列;然后将这个整体内部的元素进行全排列，最后利用分步计数原理求得结果.

例2.现有4名男生与2名女生一起合影，女生要求站在一起拍照，则有多少种不同的排法？

解：2名女生要求站在一起，需将她们看作一个整体进行“捆绑”，与4个男生站在一起排列，有 种排列方法;

女生之间有 种排列方法;

由分步计数原理可得共有  =240种排列方法.

当题目中出现“相邻”“相连”这样的字眼时，我们应首先想到运用捆绑法解题.由于处理捆绑的内部元素和外部的元素分两步进行排列，所以需运用分步计数原理来解题.

三、插空法

处理元素不相邻的排列组合问题的常用方法是插空法.首先排列没有要求的元素;将其进行全排列，然后将不相邻的元素插入到其他元素排列的空隙中.由于这些都是分步完成的，所以需要运用分步计数原理求得最后结果.

例3.3名女生和5名男生排成一排.如果女生都不相邻，有多少种排法？

解：先排5个男生，有A55种排法，这5个男生之间和两端有6个位置，从中选取3个位置排女生，有A36种排法，因此共有A55·A36=14 400种不同排法.

在运用插空法解题时，同学们要特别注意两端的空隙.

四、隔板法

在解答一些相同元素分配的问题时，我们可以运用隔板法来解题.若有n个相同的元素要分成m份，每份至少有一个元素，需用m-1块板插入到n-1个缝隙中，使这些元素分隔开，共有 种分法.特别要注意的是，利用隔板法解题的前提是分配元素必须相同;将分配的组别是无序的，每组中至少有一个元素，且元素不能有剩余.

例4.将10面流动红旗，分给7个优秀班级，每班至少有一面红旗，有多少种分法？

分析：首先我们需明确10面流动的红旗是相同的，先将它们排成一排，就会出现10-1个空隙，在这9个空挡之中选择7-1个位置插入隔板，就能够把红旗分成7份，也就是将10面红旗分配到7个班级当中，则有 =84种分法.

由此可见，排列组合问题的难度不大，解题的难点在于理解题干信息，明确事件是分步还是分类进行，是否有顺序要求，属于排列还是组合问题.因此在解题时，同学们要仔细分析题意，善于从题目中提炼关键词，选择与之相对应的方法，如特殊元素/位置法、插空法、捆绑法、隔板法，从而明确解题的思路.

（作者单位：江苏省洪泽中学）