解答圆锥曲线定点问题的两个技巧

彭斌辉

圆锥曲线定点问题常涉及直线、圆锥曲线、动点、动直线等，题型多变，运算量大.此类型问题主要考查同学们的分析和逻辑思维能力.本文將以2020年全国新课标I卷第20题为例，探讨一下解答圆锥曲线定点问题的两个技巧.

本题主要考查了椭圆的方程以及定点问题.我们首先要根据题意绘制相应的图形，如图所示，然后结合图形来分析问题.第一个问题较为简单，同学们根据题意，设出G点的坐标，由 =8即可求出a的值，进而得出E的方程： .这里主要讨论一下第二个问题.第二个问题是一个定点问题，主要有两种解答方法.

一、直接法

直接法主要是指依据题干信息，选择一个与定点相关的变量，如点的坐标、斜率、截距等，列出定点所满足的关系式，然后利用其他辅助条件消去变量，得到定点的坐标.

本题可以通过设点P的坐标 ，结合已知条件 与椭圆方程的关系，直接联立方程组， 坐标，进而得到直线 的方程，通过化简证明直线CD恒过定点.

二、利用韦达定理

利用韦达定理解答定点问题的基本思路是选择一个参数，设出直线或者圆锥曲线的方程，然后构建方程组，通过消元，得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理求出 与直线k，m的关系式，再根据其他条件将关系式进行化简，得到直线的方程或与定点相关的关系式，进而确定定点的坐标.

在本题中，我们可以直接设出 ，直线 的方程，将其与椭圆方程联立，消去y得到关于x的一元二次方程，求得 ，再结合 的方程，消去 得到关于k，m的表达式，通过化简最终证明直线过定点.

运用这两种方法解答圆锥曲线定点问题的思路是设出参数或者变量，通过化简证明直线恒过定点.解答圆锥曲线定点问题的计算量非常大，要求同学们具备较强的运算能力和分析推理能力.因此，同学们不仅要熟练掌握这两个解题技巧，还要强化运算训练.

（作者单位：江西省赣州市会昌县第三中学）