秦九韶与《数书九章》

《数书九章》是中国古代数学名著，由南宋数学家秦九韶所著。秦九韶（1208年-1261年），字道古，生于普州安岳（今四川省安岳县），与李冶、杨辉、朱世杰并称“宋元数学四大家”。他精于研究星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造等，历任琼州知府、司农丞，后遭贬，卒于梅州任所。秦九韶于1247年9月著成《数术大略》，该著作在明代后期被改名为《数书九章》。这是秦九韶唯一的数学著作，凭借此书，他成为我国宋元时期杰出的数学家之一。

《数书九章》全书采用问题集的形式写成，并不按数学方法来分类。书中的文字也不只谈数学，还涉及自然现象和社会生活，为了解当时的社会政治和经济生活提供了重要的参考文献。该书在数学内容上有颇多创新，是对《九章算术》的继承和发展。它概括了宋元时期数学的主要成就，标志着中国古代数学发展的一个高峰。全书九章十八卷，九章即九类，包括“大衍类”“天时类”“田域类”“测望类”“赋役类”“钱谷类”“营建类”“军旅类”“市物类”，每类有9题（9问），全书共计81题（81问）。该书内容十分丰富，上至天文、星象、历律、测候，下至河道、水利、建筑、运输，以及各种几何图形和体积，还包括钱谷、赋役、市场、牙厘的计算和互易。许多计算方法和经验常数直到现在仍有很高的参考价值和实践意义，被誉为“算中宝典”。该书的著述方式大多由“问日”“答日”“术日”“草日”四部分组成。“问日”是指从实际生活中提出问题;“答日”是指给出答案;“术日”表示阐述解题原理与步骤;“草日”表示给出详细的解题过程。

《数书九章》已是国内外公认的一部世界数学名著。此書不仅代表了当时中国数学的先进水平，也代表了中世纪世界数学的最高水平。我国数学史家梁宗巨评价道：“秦九韶的《数书九章》（1247年）是一部划时代的巨著，内容丰富，精湛绝伦。特别是大衍求一术（不定方程的中国独特解法）及高次代数方程的数值解法，在世界数学史上拥有崇高的地位。那时欧洲漫长的黑夜犹未结束，中国人的创造却像旭日一般在东方发出万丈光芒。”

秦九韶所发明的“大衍求一术”，即现代数论中一次同余式组解法，是中世纪世界数学的最高成就，比西方著名数学家高斯（Carl Friedneh Gauss，1777年一1855年）于1801年建立的同余理论早了554年，被西方称为“中国剩余定理”。秦九韶在数学上的成就不仅为中国赢得无尚荣誉，也为世界数学作出了杰出贡献。

秦九韶在《数书九章》中除了发明“大衍求一术”外，还创立了正负开方术，即任意高次方程的数值解法。秦九韶所发明的此项成果比1819年英国人霍纳的同样解法早了572年。秦九韶的正负开方术主要应用于列算式，其应用原则是“商常为正，实常为负，从常为正，益常为负”。正负开方术运用代数加法，给出统一的运算规律，并且扩充到了任何高次方程中。此外，秦九韶还改进了一次方程组的解法，用互乘对减法消元，与现今的加减消元法完全一致。同时秦九韶又给出了筹算的草式，使它扩充到求解一般线性方程中。在欧洲最早给出一次方程组解法的是布丢（约1490年-1570年，法国人），他于1559年开始研究用还不完整的加减消元法解一次方程组，比秦九韶晚了312年。

秦九韶在《数书九章》中还创建了“三斜求积术”，给出了已知三角形三边求三角形面积的公式。该公式与海伦（公元50年前后）公式完全一致。《数书九章》的十八卷77问“推计互易”中，给出了配分比例和连锁比例这一混合命题的巧妙运算方法，至今仍有意义。

秦九韶的哲学思想和数学思想，显然与宋代儒学中的道学学派相一致，他明确指出“数与道非二本也”。秦九韶在数学实践上的切身体会，使他对于数学的重要性有较为深刻的认识。秦九韶高度评价数学的作用，反对轻贱数学的世俗看法。他说，数学研究“大则可以通神明，顺性命;小则可以经世务，类万物，讵容以浅近窥哉！”秦九韶将数学的应用概括为大、小两个方面，实际上继承了中国传统数学思想中关于数学作用的论述。秦九韶通过自己的数学研究实践，认识到“所谓通神明，顺性命，固肤末于见”，于是他将自己的才智专注于“经世务，类万物”的“小者”上，十分重视搜寻在天文历法、生产、生活、商业贸易以及军事活动中的数学问题。《数书九章》“设为问答，以拟于用”，书中的问题尽力满足社会实践的需要，并告诫人们要学好数学，精于计算，以避免由于计算错误而引起的“财蠹力伤”等不良后果。因此，秦九韶是一位既重视理论又重视实践，既善于继承又勇于创新的数学大家。他所提出的大衍求一术和正负开方术及其名著《数书九章》，是中国数学史、乃至世界数学史上光彩夺目的一页，对后世数学的发展产生了广泛的影响。